[大學] 判斷級數收斂發散。

[訪客 kusoweiwei]

題目為判斷級數 Σ[k:0->無窮大] [(k!k!)/(2k)!]4^k 為發散還收斂

我用ration test 出來的結果等於1，無法下結論。

還能用什麼檢驗法啊？ 目前想到的是limit comparison test

但是我不確定能不能這樣用

因為:Sigma:[k:0->無窮大] [(k!k!)/(2k)!] 這個用ratio test判斷為收斂級數

然後用 comparison test ak=[(k!k!)/(2k)!]4^k , bk=[(k!k!)/(2k)!]

lim n->無窮大 [ak/bk] =lim n->無窮大 4^k 發散 ,所以 ak 發散

可是...我記得 comparison test lim n->無窮大 [ak/bk]=L 常數 然後ak隨著bk 發散收斂...

由我想法計算出來的L為發散，我可以直接判斷an為發散嗎?

[曾阿牛 10]

先回答你追問的問題：當 k → ∞,　ak/bk → ∞　且　Σbk 收斂　則可說 Σak 發散嗎？

答：不可以　　反例：ak ＝ 1/(k^2),　bk ＝ 1/(k^3)　此例中的 Σak 收斂

再回答你原來想問的　(老實說　足碼用 k 覺得不習慣　所以以下改用 n)

[訪客 kusoweiwei]

呃...背景黑黑的 然後字體很若隱若現的白色=_=

[曾阿牛 10]

哦......　我這裡看起來很正常耶

試試看換個瀏覽器　或是換台電腦　不然你留 email 我寄照片給你

[訪客 kusoweiwei]

同學，我一登出就看的到

那個我已經知道正確地尋找方式了，用divergence test

lim n->∞ an =S>0

則sigma an 發散

你的第一行就可以看出lim n->∞ an =S>0了

然後你的這個証法我不知道要怎麼說錯

但是我只知道ratio test lim n->∞ |an+1/an| >1 則級數發散

你那個式子到無窮遠項的時候 就變成 an=an了，所以沒有遞增喔。

但我不知道要怎麼準確地舉反例，反正我也是用ratio test 但 其值=1

[曾阿牛 10]

考慮一個數列 {An}　如果 A(n+1) ／ An → 1　並不能否定這數列是遞增的唷

或許您應該先確認一下　何謂一個數列是遞增的

divergence test

lim n->∞ an =S>0　則sigma an 發散

喔　還有　對於您提到的 divergence test　的敘述也不完全正確

正確的敘述是　lim n→∞ an ≠ 0　則 Σ an 發散　　這裡的 lim n→∞ an ≠ 0　包括極限不存在的情形

而您寫的 lim n->∞ an =S>0　則是預先以為極限是 S　才考慮 S ≠ 0

譬如　考慮數列 An ＝ 2 ＋ cos (πn)　　我們並不會說：因為 lim n→∞ An ＝ S　且 S ≠ 0　所以 Σ An 發散

此內容已被編輯, July 1, 2012 ,由 曾阿牛

[訪客 kusoweiwei]

考慮一個數列 {An}　如果 A(n+1) ／ An → 1　並不能否定這數列是遞增的唷

或許您應該先確認一下　何謂一個數列是遞增的

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哦!

對不起，我知道數列是遞增的阿，應該說我一開始沒有看懂，我以為你是因為數列遞增

就說這個級數是發散，所以我用ratio test的值等於1來說無法下結論，但現在我仔細看最後

一行你也是用divergence test，

一開始不知道你是用divergence test的原因是因為我們老師會規定要在最後寫"By XXX test"

還有有那個an不趨近於零的符號我沒看懂@@。

所以我原本的認知是以為你的證法是數列遞增推得級數發散

那我現在又有新的問題了，怎麼找出數列是遞增，但級數是收斂的數列呢?

然後我divergence test筆誤....

《無窮項等於零不一定收斂，不等於零一定發散》(這是我們老師特別提醒的)

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然後我從wiki看到的一節敘述

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A7%E6%95%B0

正項級數那段的問題

單調有界數列必有極限。這句話的意思是?