狡猾的任+ 10 發表於 November 6, 2011 檢舉 Share 發表於 November 6, 2011 (已編輯) 這是我有個參加數學能力培訓的同學給我看的題目:"某函數p(n)為一n的四次函數,表示在一元上畫出n個相異點連線所區隔出的區塊數求p(7)=? "同學說 培訓的五個人有四個人是自己畫出來然後算出有幾個區塊但是 第五位同學卻提出了一個很有趣的解法:p(2)=2p(3)=4p(4)=8p(5)=16p(6)=31(以上應該也是畫出來的,請別問我為什麼他不繼續畫下去...)然後列出2 4 8 16 31左右相差 2 4 8 15左右相差 2 4 7 於是推論(2)+2=4 (4)+3=7所以接下來(7)應該要加4=11然後推回去 得p(7) =31+26=57以上是第五位仁兄的解法 可是在我看來卻是毫無根據...可以麻煩各位高手教我一下,其中的奧秘嗎??(有人說是微積分...可是也講不出個所以然)歡迎有意見的朋友和我分享0.0 此內容已被編輯, November 6, 2011 ,由 狡猾的任+ 鏈接文章 分享到其他網站
Liann 10 發表於 November 8, 2011 檢舉 Share 發表於 November 8, 2011 (已編輯) 想了很久不知道我有沒有想對= ='p(n)是四次函數所以圖形應該有三個轉折。但區塊與點的數量一定是正數所以我們討論的應該是在y軸右邊且在x軸之上的函數。而且點畫得越多區塊數也應該越多,合理判斷我們要探討的部份是向上遞增。根據你同學的算法:2...4...8...16...31...a..2...4....8...15...26 .....2...4....7...11 ........2...3...4 每列的數字都是上面兩個數字的差,算到最後發現了函數的規律性。推論a=26+31=57---後來想了想,規律性應該來自於:f(2).........f(3).........f(4)..........f(5).........f(6)..........f(7)....f(3)-f(2)....f(4)-f(3)....f(5)-f(4)....f(6)-f(5)....f(7)-f(6)故f(7)= f(6) + {f(7)-f(6)} = 31+26=57 此內容已被編輯, November 8, 2011 ,由 Liann 鏈接文章 分享到其他網站
狡猾的任+ 10 發表於 November 8, 2011 作者 檢舉 Share 發表於 November 8, 2011 後來想了想,規律性應該來自於:f(2).........f(3).........f(4)..........f(5).........f(6)..........f(7)....f(3)-f(2)....f(4)-f(3)....f(5)-f(4)....f(6)-f(5)....f(7)-f(6)故f(7)= f(6) + {f(7)-f(6)} = 31+26=57(恕略)我知道p(7)=p(6)+[p(7)-p(6)]可是我不理解的是為何會有這樣的規律??f(2).........f(3).........f(4)..........f(5).........f(6)..........f(7)....f(3)-f(2)....f(4)-f(3)....f(5)-f(4)....f(6)-f(5)....f(7)-f(6)故f(7)= f(6) + {f(7)-f(6)} = 31+26=57是這樣錯 可是又如何知道p(3)-p(2)與p(4)-p(3)與p(5)-p(4)...etc.有關連性??感謝分享:E 鏈接文章 分享到其他網站
紫玥乄 10 發表於 November 8, 2011 檢舉 Share 發表於 November 8, 2011 (已編輯) 我知道p(7)=p(6)+[p(7)-p(6)]可是我不理解的是為何會有這樣的規律??是這樣錯 可是又如何知道p(3)-p(2)與p(4)-p(3)與p(5)-p(4)...etc.有關連性??感謝分享:E規律好像是四次函數的三階階差吧!?(就像一次函數的等差,二次函數的一階階差)好像是可以證出來的(但係數有沒有什麼限定條件我就不知道了) 此內容已被編輯, November 8, 2011 ,由 紫玥乄 鏈接文章 分享到其他網站
Liann 10 發表於 November 8, 2011 檢舉 Share 發表於 November 8, 2011 (已編輯) 嗯 ... 應該是因為它是遞增函數(像是拋物線),所以f(2)、f(3)、f(4)......之間的垂直距離差也會遞增舉個例子:假設一物由靜止開始作等加速度運動,且加速度=2,初位置=0則其位置所畫出來的圖形就是右半部的拋物線第一秒的位置是1第二秒的位置是4第三秒的位置是9第四秒的位置是161...4...9...16..3....5...7....2....2這樣也有規律性 此內容已被編輯, November 8, 2011 ,由 Liann 鏈接文章 分享到其他網站
紫玥乄 10 發表於 November 8, 2011 檢舉 Share 發表於 November 8, 2011 (已編輯) 想了很久不知道我有沒有想對= ='p(n)是四次函數所以圖形應該有三個轉折。但區塊與點的數量一定是正數所以我們討論的應該是在y軸右邊且在x軸之上的函數。而且點畫得越多區塊數也應該越多,合理判斷我們要探討的部份是向上遞增。根據你同學的算法:2...4...8...16...31...a..2...4....8...15...26 .....2...4....7...11 ........2...3...4 每列的數字都是上面兩個數字的差,算到最後發現了函數的規律性。推論a=26+31=57---後來想了想,規律性應該來自於:f(2).........f(3).........f(4)..........f(5).........f(6)..........f(7)....f(3)-f(2)....f(4)-f(3)....f(5)-f(4)....f(6)-f(5)....f(7)-f(6)故f(7)= f(6) + {f(7)-f(6)} = 31+26=57但沒算出f(7),你也算不出{f(7)-f(6)}阿(撇開已知的規律性)嗯 ... 應該是因為它是遞增函數(像是拋物線),所以f(2)、f(3)、f(4)......之間的垂直距離差也會遞增但這能保證他遞增的值是互有關係的嗎?嗯 ... 應該是因為它是遞增函數(像是拋物線),所以f(2)、f(3)、f(4)......之間的垂直距離差也會遞增舉個例子:假設一物由靜止開始作等加速度運動,且加速度=2,初位置=0則其位置所畫出來的圖形就是右半部的拋物線第一秒的位置是1第二秒的位置是4第三秒的位置是9第四秒的位置是161...4...9...16..3....5...7....2....2這樣也有規律性這就是我說的二次函數的一階階差 此內容已被編輯, November 8, 2011 ,由 紫玥乄 鏈接文章 分享到其他網站
狡猾的任+ 10 發表於 November 9, 2011 作者 檢舉 Share 發表於 November 9, 2011 但沒算出f(7),你也算不出{f(7)-f(6)}阿(撇開已知的規律性)但這能保證他遞增的值是互有關係的嗎?這就是我說的二次函數的一階階差好像懂了...感覺跟微積分有些關係^o)謝謝:E 鏈接文章 分享到其他網站
Liann 10 發表於 November 10, 2011 檢舉 Share 發表於 November 10, 2011 (已編輯) 我在網路上找到類似的題目是用歸納法找出遞迴關係,不過這個次方有點高。先假設方程式:f(n+1)-f(n)=ax^3+bx^2+cx+d代入數字得a+b+c+d=18a+4b+2c+d=227a+9b+3c+d=464a+16b+4c+d=8 ↓7a+3b+c=119a+2b+c=237a+7b+c=4 ↓12a+2b=118a+2b=2 ↓a=1/6,b=-1/2,c=4/3,d=0則f(n+1)-f(n)=(x^3 - 3x^2 + 8x)/6求f(7)-f(6)=36-18+8=26 此內容已被編輯, November 10, 2011 ,由 Liann 鏈接文章 分享到其他網站
紫玥乄 10 發表於 November 10, 2011 檢舉 Share 發表於 November 10, 2011 好像懂了...感覺跟微積分有些關係^o)謝謝:E我後來有想到老師的解釋若f(n)的最高次為m次,則f(n)-f(n-1)的最高次為m-1次一次式的差成等差二次式的差的差成等差,也就是說二次式的差成"一階階差"三次式的差的差的差成等差,也就是說三次式的差成"二階階差"同理,這題的四次式就是"三階階差" 鏈接文章 分享到其他網站
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