【高三】數學能力競賽sample試題之另解法

[狡猾的任+ 10]

這是我有個參加數學能力培訓的同學給我看的題目：

"某函數p(n)為一n的四次函數,表示在一元上畫出n個相異點連線所區隔出的區塊數

求p(7)=? "

同學說 培訓的五個人有四個人是自己畫出來然後算出有幾個區塊

但是 第五位同學卻提出了一個很有趣的解法:

p(2)=2

p(3)=4

p(4)=8

p(5)=16

p(6)=31

(以上應該也是畫出來的,請別問我為什麼他不繼續畫下去...)

然後列出2 4 8 16 31

左右相差 2 4 8 15

左右相差 2 4 7

於是推論(2)+2=4

(4)+3=7

所以接下來(7)應該要加4=11

然後推回去 得p(7) =31+26=57

以上是第五位仁兄的解法 可是在我看來卻是毫無根據...

可以麻煩各位高手教我一下,其中的奧秘嗎??

(有人說是微積分...可是也講不出個所以然)

歡迎有意見的朋友和我分享0.0

此內容已被編輯, November 6, 2011 ,由 狡猾的任+

[Liann 10]

想了很久不知道我有沒有想對= ='

p(n)是四次函數所以圖形應該有三個轉折。

但區塊與點的數量一定是正數所以我們討論的應該是在y軸右邊且在x軸之上的函數。

而且點畫得越多區塊數也應該越多，合理判斷我們要探討的部份是向上遞增。

根據你同學的算法：

2...4...8...16...31...a

..2...4....8...15...26

.....2...4....7...11

........2...3...4

每列的數字都是上面兩個數字的差，算到最後發現了函數的規律性。

推論a=26+31=57

---

後來想了想，規律性應該來自於：

f(2).........f(3).........f(4)..........f(5).........f(6)..........f(7)

....f(3)-f(2)....f(4)-f(3)....f(5)-f(4)....f(6)-f(5)....f(7)-f(6)

故f(7)= f(6) + {f(7)-f(6)} = 31+26=57

此內容已被編輯, November 8, 2011 ,由 Liann

[狡猾的任+ 10]

後來想了想，規律性應該來自於：

f(2).........f(3).........f(4)..........f(5).........f(6)..........f(7)

....f(3)-f(2)....f(4)-f(3)....f(5)-f(4)....f(6)-f(5)....f(7)-f(6)

故f(7)= f(6) + {f(7)-f(6)} = 31+26=57

(恕略)

我知道p(7)=p(6)+[p(7)-p(6)]

可是我不理解的是為何會有這樣的規律??

f(2).........f(3).........f(4)..........f(5).........f(6)..........f(7)

....f(3)-f(2)....f(4)-f(3)....f(5)-f(4)....f(6)-f(5)....f(7)-f(6)

故f(7)= f(6) + {f(7)-f(6)} = 31+26=57

是這樣錯 可是又如何知道p(3)-p(2)與p(4)-p(3)與p(5)-p(4)...etc.有關連性??

感謝分享:E

[紫玥乄 10]

我知道p(7)=p(6)+[p(7)-p(6)]

可是我不理解的是為何會有這樣的規律??

是這樣錯 可是又如何知道p(3)-p(2)與p(4)-p(3)與p(5)-p(4)...etc.有關連性??

感謝分享:E

規律好像是四次函數的三階階差吧!?(就像一次函數的等差,二次函數的一階階差)

好像是可以證出來的(但係數有沒有什麼限定條件我就不知道了)

此內容已被編輯, November 8, 2011 ,由 紫玥乄

[Liann 10]

嗯 ... 應該是因為它是遞增函數(像是拋物線)，所以f(2)、f(3)、f(4)......之間的垂直距離差也會遞增

舉個例子：

假設一物由靜止開始作等加速度運動，且加速度=2，初位置=0

則其位置所畫出來的圖形就是右半部的拋物線

第一秒的位置是1

第二秒的位置是4

第三秒的位置是9

第四秒的位置是16

1...4...9...16

..3....5...7

....2....2

這樣也有規律性

此內容已被編輯, November 8, 2011 ,由 Liann

[紫玥乄 10]

想了很久不知道我有沒有想對= ='

p(n)是四次函數所以圖形應該有三個轉折。

但區塊與點的數量一定是正數所以我們討論的應該是在y軸右邊且在x軸之上的函數。

而且點畫得越多區塊數也應該越多，合理判斷我們要探討的部份是向上遞增。

根據你同學的算法：

2...4...8...16...31...a

..2...4....8...15...26

.....2...4....7...11

........2...3...4

每列的數字都是上面兩個數字的差，算到最後發現了函數的規律性。

推論a=26+31=57

---

後來想了想，規律性應該來自於：

f(2).........f(3).........f(4)..........f(5).........f(6)..........f(7)

....f(3)-f(2)....f(4)-f(3)....f(5)-f(4)....f(6)-f(5)....f(7)-f(6)

故f(7)= f(6) + {f(7)-f(6)} = 31+26=57

但沒算出f(7),你也算不出{f(7)-f(6)}阿(撇開已知的規律性)

嗯 ... 應該是因為它是遞增函數(像是拋物線)，所以f(2)、f(3)、f(4)......之間的垂直距離差也會遞增

但這能保證他遞增的值是互有關係的嗎?

嗯 ... 應該是因為它是遞增函數(像是拋物線)，所以f(2)、f(3)、f(4)......之間的垂直距離差也會遞增

舉個例子：

假設一物由靜止開始作等加速度運動，且加速度=2，初位置=0

則其位置所畫出來的圖形就是右半部的拋物線

第一秒的位置是1

第二秒的位置是4

第三秒的位置是9

第四秒的位置是16

1...4...9...16

..3....5...7

....2....2

這樣也有規律性

這就是我說的二次函數的一階階差

此內容已被編輯, November 8, 2011 ,由 紫玥乄

[狡猾的任+ 10]

但沒算出f(7),你也算不出{f(7)-f(6)}阿(撇開已知的規律性)

但這能保證他遞增的值是互有關係的嗎?

這就是我說的二次函數的一階階差

好像懂了...感覺跟微積分有些關係^o)

謝謝:E

[Liann 10]

我在網路上找到類似的題目是用歸納法找出遞迴關係，不過這個次方有點高。

先假設方程式：f(n+1)-f(n)=ax^3+bx^2+cx+d

代入數字得

a+b+c+d=1

8a+4b+2c+d=2

27a+9b+3c+d=4

64a+16b+4c+d=8

　↓

7a+3b+c=1

19a+2b+c=2

37a+7b+c=4

　↓

12a+2b=1

18a+2b=2

　↓

a=1/6，b=-1/2，c=4/3，d=0

則f(n+1)-f(n)=(x^3 - 3x^2 + 8x)/6

求f(7)-f(6)=36-18+8=26

此內容已被編輯, November 10, 2011 ,由 Liann

[紫玥乄 10]

好像懂了...感覺跟微積分有些關係^o)

謝謝:E

我後來有想到老師的解釋

若f(n)的最高次為m次,則f(n)-f(n-1)的最高次為m-1次

一次式的差成等差

二次式的差的差成等差,也就是說二次式的差成"一階階差"

三次式的差的差的差成等差,也就是說三次式的差成"二階階差"

同理,這題的四次式就是"三階階差"