問一下這題積分怎麼做


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請把 sin(x) 和 cos^2(x) 的圖形畫出來觀察

注意到 sin(x) 在 0 ~ π 和 π~2π 的圖形上下顛倒, cos^2(x) 在 0~π 和 π~2π 的圖形一樣

所以把原積分拆成 0~π 和 π~2π 兩段, 那麼 π~2π 那段和 0~π 那段相消後

剩下 -\int_0^{\pi} sin(x)/(1 + cos^2(x)) dx, 就很好積了.

之前寫過另外一題積分範圍是 0 ~ \pi, 感覺比這題更技巧點 orz

詳細算式如:

\int_0^{2 \pi} x sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx

= \int_0^{\pi} x sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx + \int_{\pi}^{2\pi} x sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx

= \int_0^{\pi} x sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx + \int_0^{\pi} (t + \pi) sin(t + \pi) / (1 + cos^2(t + \pi)) dt

// let x = t + \pi

= \int_0^{\pi} x sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx + \int_0^{\pi} (t + \pi)( -sin(t)) / (1 + cos^2(t)) dt

= \int_0^{\pi} x sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx - \int_0^{\pi} (x + \pi) sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx

= - \int_0^{\pi} \pi sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx

         | x = \pi

= \pi arctan(cos(x)) |

         | x = 0

= -( \pi )^2 / 2

---

補充一下 如果答案是 π^2 / 4 的話, 積分範圍應該是 0 ~ π 才對

這樣的話應該要注意到 用 x = π - t 代換得到的式子 和原式相加 恰巧把 x sin(x) 消成 π sin(x)

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