たけし 10 發表於 July 2, 2011 檢舉 Share 發表於 July 2, 2011 網路還有翻書都找不太到就算有也沒有詳細解釋不知道哪位可以幫我看看∫ [(x*sin(x))/(1+(cosx)^2)] dx範圍是0~2π他答案給的是π^2/4不知道是怎麼算的 鏈接文章 分享到其他網站
su_horng 10 發表於 July 3, 2011 檢舉 Share 發表於 July 3, 2011 (已編輯) 請把 sin(x) 和 cos^2(x) 的圖形畫出來觀察注意到 sin(x) 在 0 ~ π 和 π~2π 的圖形上下顛倒, cos^2(x) 在 0~π 和 π~2π 的圖形一樣所以把原積分拆成 0~π 和 π~2π 兩段, 那麼 π~2π 那段和 0~π 那段相消後剩下 -\int_0^{\pi} sin(x)/(1 + cos^2(x)) dx, 就很好積了.之前寫過另外一題積分範圍是 0 ~ \pi, 感覺比這題更技巧點 orz詳細算式如:\int_0^{2 \pi} x sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx= \int_0^{\pi} x sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx + \int_{\pi}^{2\pi} x sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx= \int_0^{\pi} x sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx + \int_0^{\pi} (t + \pi) sin(t + \pi) / (1 + cos^2(t + \pi)) dt// let x = t + \pi= \int_0^{\pi} x sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx + \int_0^{\pi} (t + \pi)( -sin(t)) / (1 + cos^2(t)) dt= \int_0^{\pi} x sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx - \int_0^{\pi} (x + \pi) sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx= - \int_0^{\pi} \pi sin(x) / (1 + cos^2(x)) dx | x = \pi= \pi arctan(cos(x)) | | x = 0= -( \pi )^2 / 2---補充一下 如果答案是 π^2 / 4 的話, 積分範圍應該是 0 ~ π 才對這樣的話應該要注意到 用 x = π - t 代換得到的式子 和原式相加 恰巧把 x sin(x) 消成 π sin(x) 此內容已被編輯, July 3, 2011 ,由 su_horng 鏈接文章 分享到其他網站
djshen1217 10 發表於 July 3, 2011 檢舉 Share 發表於 July 3, 2011 (已編輯) 如果是0~2pi的話分部積分+週期性 此內容已被編輯, July 5, 2011 ,由 djshen1217 鏈接文章 分享到其他網站
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