IBM公司的筆試題

[賴賴愛玩 10]

我們都知道 正三角形ABC AB BC AC 三邊分別取一點XYZ

使 AX=BY=CZ 則三角形XYZ也為正三角形

那假如三角形DEF DE EF DF 三邊各取一點QWR使DQ=EW=RF

且三角形QWR為正三角形

那三角形DEF是否為正三角形

若是的話請證明

若不一定請舉反例

這提我想了好久捏~~~

拜託各位神人幫忙一下

(抱歉沒圖)

[紫玥乄 10]

剛剛稍微畫了一下圖

發現其實頗有跡可循但我證不出來QAQ

發現幾個點

1.我剛剛先畫了正三角形QWR

然後發現只有特定角度才能往外畫一個三角形DEF使得DQ=EW=RF

2.任意三角形DEF中找出來的三角形QWR 似乎相似於三角形DEF(我想你只要能證出這個就得證了~)

[賴賴愛玩 10]

我用繪圖軟體畫過

好像成立捏

[howt 10]

引理一：兩個三角形若有兩邊相等，則餘夾角(即不是夾在這兩邊中間的角)越大⟺第三邊越小。這證明沒啥難度，故從略。

反證法：

(1) 設DR>EQ ⇒ 由引理一，∠D<∠E....(a)

(2) DR>EQ ⇒ DF>DE(樞紐)⇒∠E>∠F⇒EQ<WF⇒ED<EF⇒∠F<∠D

⇒FW>DR⇒FE>FD⇒∠D>∠E...(b)

(a)、b)矛盾、類似的若DR<EQ可得同樣矛盾，故DR=EQ。同理DR=EQ=WF。

因此DE=EF=DF為正三角形。