[問題]數學老師拋出的問題

[訪客 kusoweiwei]

如題

有四個硬幣，重量都是正整數公克，及一台可指示左秤盤與右秤盤上,

物品重量差的「重量差天平」,若至多可能有一次秤重此天平會有1 公克的誤差

請問能否用此「重量差天平」秤四次即可確定這四硬幣的正確重量？

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我連一個頭緒都抓不到

某甲問:

請問重量差會有正負的顯示嗎?

例如左邊重2 右邊重5 則顯示3 如果左邊重6 右邊重2 則顯示-4

最後老師提示:

磅秤問題其實要分析左右差值能否知道左右哪邊大哪邊小，

"某甲"的問題其實在作答時須自我分析的，

在此我把難度降低，若要秤四次就能解答，必須是磅秤告訴你哪邊重，

比如左邊重2g就顯示+2，右邊重2g就是-2，這樣4次就能確定4 個硬幣重量，

小心喔：這裡的磅秤秤4次頂多有一次誤差是1g，

但是不一定會出現誤差，這是這題困難的地方。

此內容已被編輯, November 12, 2010 ,由 kusoweiwei

[howt 10]

假設四個硬幣叫A、B、C、D，那麼你每秤一次等於得到一個方程式

如AB放左、C放右、天平往左傾、重量差3；等價於A+B-C = 3 (定義往左傾為正)

那麼做完四次得到四元四式方程組，而A、B、C、D前的係數可為0或±1。

四個等式右方的值是測量到的值，可能有0或±1的誤差，共有九種可能。

接下來就只是你要怎麼設計方程組的係數，讓你解它的時候，只有一組會得出正整數解。

用矩陣的語言來說，某個4×4矩陣M，其元素全由0或±1構成，要如何使其反矩陣M^-1作用在那

九種可能上，僅有一種會得到正整數解。這方法其實很多，提示一下，每種可能有四個值，

一號可能中這四個值加起來叫做S1好了，任意兩個Si、Sj都差±1或±2。