連續函數

[adventurous 10]

1.f(x)=x 當x為無理數

f(x)=0當x為有理數

證f在x=0時連續，其它點都不連續

2.f(x)=[x]

證連續與不連續的點

請高手幫忙

[adventurous 10]

第2題我知道0+到1為連續、1+到2為連續、等

但要如何證明呢~

[adventurous 10]

第一題我參考之前有人提供的

因此假設對任意a而言lim(x→a)f(x)=L存在

取ε=1/3，則須存在δ>0使得

若0<∣x-a∣<δ，則∣f(x)-L∣<1/3

令x1為有理數且滿足0<∣x1-a∣<δ

再令x2為無理數且滿足0<∣x2-a∣<δ

依題目函數定義f(x1)=0、f(x2)=x2

則0<∣x1-a∣<δ→∣f(x1)-L∣=∣0-L∣<1/3

-1/3<0-L<1/3

-1/3< L<1/3

又0<∣x2-a∣<δ→∣f(x2)- L∣=∣x2- L∣<1/3

-1/3<x2- L<1/3

-1/3-x2<- L<1/3-x2

-1/3+x2< L<1/3+x2

當x2=0時為連續

x2不為0時，產生矛盾(因為L值域不一致)

故知L不存在，即對任意a而言lim(x→a)f(x)不存在

所以不為0時為不連續

請問這樣可行嗎

[core2 10]

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[adventurous 10]

謝謝

[core2 10]

不客氣，

希望有幫上忙。