大家來動動腦吧

[passiontcfsh 10]

1.凸四邊形ABCD圍繞它所在的平面內一點O逆時針方向轉90度，得到四邊形A’ B’C’D’，P，Q，R，S分別為線段A’B、B’C、C’D、D’A的中點。求證：PR⊥QS，PR＝QS

2.設z是1的七次方根，z≠1，求z＋(z^2)+(z^4)的值。

3.已知數列A1，A2，A3……，An，……，其各項由下列條件所定義（1）A1＝1999 （2）A1+A2+……+An-1=(n^2)An，（n＝2，3，4……）試求A1999的值

4.設△ABC的三邊AB、BC、CA成等差數列，O與I分別為 △ABC的外心與內心。設 ∠BAC的外角平分線交於 △ABC的外接圓於E。試證OI平行AE且其長等於AE之一半。

P.S.有人知道這種留言版能夠支援Word方程式編輯器嗎?

因為每次都要想怎麼表達式子~好累

如果沒辦法支援

要怎麼反映給版主改進?

[passiontcfsh 10]

因為很急,不一定要一次全部回覆

只要一題有解答或想法就麻煩大家盡快先回覆囉

謝謝大家

[howt 10]

1.

令A點在複數平面上的座標為A，其他點以此類推，x = e^(iπ/2)，那麼

A'=Ax、B'=Bx、C'=Cx、D'=Dx，P=(Ax+B)/2、Q=(Bx+C)/2、R=(Cx+D)/2、S=(Dx+A)/2

P-R = [(A-C)x+(B-D)]/2、Q-S = [(B-D)x+(C-A)]/2 => (P-R)*x =Q-S

=> 兩向量垂直且大小相同。

2.

令s=z+z^2+z^4 => s^2 = (z^2+z^4+z) + 2(z^3+z^5+z^6) = s+2(1-s) = 2-s

=> s = (-1± i√5)/2 [正負皆對，因為z跟z bar都滿足 t^7=1 ]

3.

等式右方應該有負號，不然人力化簡不出來

4.

這題有想出三種方法，其中兩個要用到角平分線長公式就不提了，提一下純幾法。

下面證明中兩個連續英文字母的表示邊長，三個表示角。

首先延長AI交圓於F，連EF，由於EAF=90度，故EF為直徑，意即O在EF上，

所以接下來只要證明AI = IF 就完成證明了。

在AB延長線上A的外側取一點D，使得AD=AC，那麼BD=2*BC，CD//AF

另一方面由於ABC=AFC，FAC=BAF=ADC，故∆DBC~∆AFC，即AF=2*FC

連CI，FCI = FCB+BCI =FAB+BCI =CAI+BCI =FIC => FI = FC

由以上知AI=IF => ∆FOI~∆FEA ，即可得題目欲證。

此內容已被編輯, November 5, 2010 ,由 howt

[passiontcfsh 10]

感謝howt多次熱情的解惑^^[掌聲......!]