一些題目麻煩大家幫忙嚕~>.<(急)

[passiontcfsh 10]

1.已知A＝X[（cosθ）^2]＋Y[（sinθ）^2]

B＝X[（sinθ）^2]＋Y[（cosθ）^2]

，X，Y，A，B 為實數，求證：(X^2)＋(Y^2)≧(A^2)＋(B^2)

2.試證：如果三個連續自然數的中間一個是自然數的立方，那麼他們的乘積能被504整除。

3.設X1，X2，X3，……，Xn是1,2,3,……,n這n個正整數的任意一個排列（*）。試求n層絕對值函數

｜…｜｜︱X1︱－X2｜－X3｜－……－Xn｜的最大值。

註（*）：即X1，X2，X3，……Xn是1到n之間兩兩不相等的正整數。

4.設M為三角形ABC的一腰CA的中點， ∠C為直角。自C引中線BM的垂線交斜邊AB於D，且 ∠AMD＜90 度。試求使 ∠AMD≧∠BMC的充要條件（以AC、BC兩邊長的關係表之）。

因為比較急,不一定要一次全部回覆

只要一題有解答或想法就麻煩大家盡快先回覆囉

感謝大家[應該沒有人被我原本的標題嚇到而打退堂鼓了吧]

此內容已被編輯, October 14, 2010 ,由 passiontcfsh

[howt 10]

1.

A+B = X+Y 、 A-B = (X-Y)cos2θ ( 後面直接把cos2θ簡寫成c)

兩式平方相加得2(A^2+B^2) = X^2(1+c^2)+Y^2(1+c^2)+2XY(1-c^2)

=> 2(X^2+Y^2-A^2-B^2) = (1-c^2)(X-Y)^2≧0

2.

所有立方數除以7或8或9的餘數都是0或±1(這可以自己證吧..)。

3.

顯然如果在Xn=n的情況下，且前面那坨絕對值=0或1時(因為有時不能造出0)我們可以找到最

大值。接下來證明當n = 4k+1或4k時我們可以用1~n-1造出0，n=4k+2或4k+3時，我們可以

用1~n-1造出1(且必造不出0)。

由於| | | m | - (m-1) | - (m-2) | - (m-3) = 0

因此連續四整數從大排到小可造出0，於是當m=4k時，1~m可造出0。

當m=4k-1時，補一個0到1~m中，於是0~m又變成連續4s個整數序列，且0不影響絕對值，

因此也可造出0。

當m=4k+1或4k+2時，假設存在一排列(X1,X2...Xm)可以造出0，把絕對值拿掉，這個序列會

變成±X1±X2....±Xn = 0，也就是說有∑Xi = ∑Xj，但是X1+X2+...+Xm 是奇數，矛盾。

因此最少只能讓它造出1而已。方法如前：4k+1每次消去4個最後會剩下1，配成||0|-1|即可；

4k+2則剩下2以及1，配成|||0|-2|-1|即可。注意上面的m即為n-1。

因此當n = 4k+1或4k，最大值為n；n=4k+2或4k+3，最大值為n-1。

[core2 10]

每次看到howt大大，

就知道難題又見水落石出，

感謝無私的分享。

[曾阿牛 10]

...假設存在一排列(X1,X2...Xm)可以造出0，把絕對值拿掉，這個序列會變成±X1±X2....±Xn = 0...

嗯.... 這個好

[howt 10]

4.

延長(DM)與(BC)使其交於點E[∠AMD<90度，故必相交]

=> ∠AMD=∠CME，若∠AMD≧∠BMC <=> (CE)≧(BC)

由孟氏定理(AD)/(DB) * (BE)/(CE) * (CM)/(MA) = 1 <=> (BE)/(CE) = (DB)/(AD)

<=> (DB)/(AD) = 1 + (BC)/(CE) ≤ 2 <=> ∆BCD ≤ 2∆ACD

[令∠BCD=∠BMC=x] <=> (BC)sinx ≤ 2(AC)cosx <=> (BC)/(AC) ≤ 2cotx = (AC)/(BC)

<=> (BC)/(AC) ≤ 1 [在∠AMD<90度的前提下]

[曾阿牛 10]

孟式定理....　嗯　我所學的實在是太少了

個人用了 一條輔助線 和 相似形對應邊成比例　導得 ∠AMD ＝ ∠BMC 的條件為 AC ＝ BC

另一方面　導得 ∠AMD ＝ 90 度 的條件為 AC ＝ √2 BC　[ √2 表示根號2 ]

所以　我的答案會寫成　1 ≦ ( AC / BC ) < √2

感謝樓主　passiontcfsh 大大提供這些有趣的問題　　雖然覺得像是在幫寫作業　但可以看到這些好題目　還是很感謝

感謝　howt 大大提供的做法　　也佩服您的才思敏捷

此內容已被編輯, October 19, 2010 ,由 曾阿牛

[core2 10]

此內容已被編輯, October 20, 2010 ,由 core2

[actino 10]

除了孟氏定理，還有另一個"西瓦定理"

是解幾何向量很好用的兩個定理

不過都是舊教材的內容

現在小朋友知道的應該算少數