數論問題~(急)幫忙一下吧

[passiontcfsh 10]

1.（1）設a、b都是大於1的實數，試確定 [（a^2）/（b－1）]＋[（b^2）/（a－1）]的最小值。

（2）設A1、A2、A3、……、An為n個均大於1的實數，n≧2。試確定 [（A1^2）/（A2－1）]＋[（A2^2）/（A3－1）]＋[（A3^2）/（A4－1）]＋……＋[（An－1^2）/（An－1）]＋[（An^2）/（A1－1）]的最小值。

2. 在平面直角座標系中，有一個1996邊的多邊形p滿足下列三個條件：

（1）p的頂點的座標都是整數。

（2）p的所有邊都與座標軸平行。

（3）p的所有邊的邊長都是奇數。

試證：p的面積是奇數。

此內容已被編輯, October 6, 2010 ,由 passiontcfsh

[ynotony 10]

第一題：

由算幾不等式 [(a^2)/(b-1)] + [(b^2)/(a-1)] ≧ 2√[(a^2)/(b-1) × (b^2)/(a-1)] = 2√[(a^2)(b^2)/(a-1)(b-1)]，其中 (a^2)(b^2)/(a-1)(b-1) 可以拆成 (a^2)/(a-1) 與 (b^2)/(b-1)，接著便可以將兩者分開算。

設 (a^2)/(a-1) 最小值為 k，則(a^2)/(a-1)≧k，(a^2)≧k(a-1)，(a^2)-ka+k≧0，[a-(k/2)]^2 + [k-(k^2)/4]≧0。

因等式成立在 (a^2)/(a-1) 為最小值 k 且 [a-(k/2)]^2 必 ≧0，故 [k-(k^2)/4]=0，(4k-k^2)=0，k(4-k)=0。

因 a>1 所以 (a^2)/(a-1) 必 >0 ，在 k≠0 的狀況下，k=4。

b 的部分同解，得 (a^2)/(b-1) + (b^2)/(a-1) ≧ 2√[(a^2)/(b-1) × (b^2)/(a-1)] = 2√[(a^2)(b^2)/(a-1)(b-1)] = 2√(4×4) = 2×4 = 8。

同理，(A1^2)/(A2-1) + (A2^2)/(A3-1) + …… + (An^2)/(A1-1) ≧ n[(A1^2)/(A2-1) × (A2^2)/(A3-1) × …… × (An^2)/(A1-1)]^(1/n) = n (4^n)^(1/n) = 4n。

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第二題比較麻煩一點，我大概能抓出如何解但很難完整說明為什麼：

出發點大概是先用四邊做出一個足夠大的矩形，在再週圍一直加減足夠量的小矩形，最後就能變成 1996 邊形的奇怪東西。另外，第三個條件亦是解此題的關鍵。

由第三點「所有邊的邊長都是奇數」得知，不管是外加一個矩形或是減掉一個矩形，其邊長數的改變一定是 4 的倍數。

　　　５　　　　　　　　５　　　　　　　　　　　５

　囗囗囗囗囗　　　　囗囗囗囗囗３　　　　　　囗囗囗囗囗

　囗囗囗囗囗　　　　囗囗囗囗囗　　　　　　　囗囗囗囗囗４

　囗囗囗囗囗　　　　囗囗囗囗囗　３　　　　　囗囗囗囗囗

７囗囗囗囗囗７　　７囗囗囗囗囗囗囗囗１　　７囗囗囗囗囗　２

　囗囗囗囗囗　　　　囗囗囗囗囗　３　　　　　囗囗囗囗囗囗囗

　囗囗囗囗囗　　　　囗囗囗囗囗　　　　　　　囗囗囗囗囗囗囗３

　囗囗囗囗囗　　　　囗囗囗囗囗３　　　　　　囗囗囗囗囗囗囗

　　　５　　　　　　　　５　　　　　　　　　　　　７

大概就像這樣子，如果是以延伸 / 縮短一邊並外加兩邊來增加 / 扣除一個小矩形，就會有邊長不是奇數的狀況發生，故每增加一個矩形整個形狀邊長數的改變一定是 4 的倍數；因此，此題中 1996 邊形便相當於 499 個矩形互相加減後的結果。又綜合題目的三個條件，可知其中每一個矩形面積都會是奇數（奇×奇=奇），得總面積為 499 個奇數加減後的結果 = 奇數。

本提改編自 1987 IMO 中國國家隊選拔第二屆第二題，相關連結（無意間找到的資料）。

此內容已被編輯, October 7, 2010 ,由 ynotony
改啊～改啊～

[ynotony 10]

怎麼刪不了自己的文章，以前不是可以直接刪除回覆嗎？= ='

此內容已被編輯, October 7, 2010 ,由 ynotony

[passiontcfsh 10]

怎麼了嗎

為什麼要刪除回覆

[ynotony 10]

#3 是為了不影響 #2 已打好內容所做的第二編輯區。本來想完工後就刪掉，沒想到過了三年已經無法刪除自己的回覆帖了= ='。

小抱怨一下，為什麼現在改學校還要搞申報制？麻煩死了:s。以前我看學長都直接改的啊（等可以直接用時再更改，現在就先回歸高一吧xd）。

此內容已被編輯, October 7, 2010 ,由 ynotony

[passiontcfsh 10]

哇

國一就知道深藍

沒差啦

還是大神一位

(尊敬)

我要登出了881

此內容已被編輯, October 7, 2010 ,由 passiontcfsh

[ynotony 10]

已經大學了。只是目前改學校好麻煩，就不理它了一_一狠。

越來越多離題帖了= =""。

此內容已被編輯, October 7, 2010 ,由 ynotony

[howt 10]

1.

(1)令a=x+1、b=y+1，原式變成 (x^2+2x+1)/y + (y^2+2y+1)/x

= (x^2)/y + (x/y) + (x/y) + (1/y) + (y^2)/x + (y/x) + (y/x) + (1/x) ≥ 8 (算幾)，等號成立x=y=1

(2) 同上。

2.

令1996個座標點為(x1,y1).....(x1996,y1996)

選取適當的頂點當作(x1,y1)，

我們有y1=y2、y3=y4.....y1995=y1996；x2=x3、x4=x5.....x1996=x1，由多邊形的面積公式

(參考)知其面積等於y2(x1996-x2)+y4(x2-x4)+.....+y1996(x1994-x1996) [這邊我省略化簡的步

驟，大致上就是用前面的等式把奇數下標的全換成偶數下標]。

但是y2、y4....y1996這998個數字中，相鄰兩者要相差奇數，換言之裡面必有449個奇數

又(x1996-x2)、(x2-x4)...(x1994-x1996)這些全都是奇數，因此其面積是奇數。