高一數學延伸題

[passiontcfsh 10]

1.求出所有滿足（8^x）＋（15^y）＝（17^z）的正整數解。

2.設<An>為一無窮數列，任意正整數n，An是（1^2）＋（2^2）＋（3^2）＋…＋（n^2）的個位數字。證明：0.A1A2A3…An…[即零點A1A2A3…An…]是有理數。

3.試確定所有質數p使得（p^2）＋11恰有六個相異正因數。

4.數列【An】定義如下：A0＝1，A1＝2，An＋2＝An＋[（An＋1）^2]；求A2006除以7的餘數。【用「列舉找規律法」答案好像是6，但有辦法不用「列舉找規律法」解決嗎?】

[howt 10]

1.

先對8同餘，得(-1)^y≡1 (mod 8)，換言之y是偶數

再對3同餘，得(-1)^x≡(-1)^z (mod3)，意即x、z同奇偶

再對7同餘，得2≡3^z (mod7)，又3^2≡2 (mod7)，且3^6≡1 (mod7)中的6是餘1的最小order

因此z=6t+2為偶數，因此x、y、z皆為偶數。

現令x=2a、y=2b、z=2c，那麼原式成為 (8^a)^2 + (15^b)^2 = (17^c)^2。

由畢氏三元數知存在正整數m,n，(m,n)=1使得2mn=8^a、m^2-n^2=15^b、m^2+n^2=17^c

由2mn=8^a以及(m,n)=1 知 n=1，因此m^2-n^2 = m^2 - 1 = (m+1)(m-1) = 15^b，又

m-1以及m+1最大公因數為1或2(不合)，因此m-1 = 3^b、m+1=5^b，意即5^b-3^b=2，

則b=1是唯一解。也就是說x=y=z=2是唯一解。

2.

1^2+2^2..+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6 =f(n)，現在把所有的n分類成60k+r，k≥0，60 ≥ r ≥1

那麼 f(60k+r) ≡ f® (mod 10)，因此存在一個以60為循環節的An，(即A60k+r =Ar )

因此0.A1A2A3…An…是有理數。

3.

有六個相異正因數，意即p^2 +11=ab^2或p^2 +11=c^5，其中a、b、c都是質數(且ab相異)

又p=2無解 => p是奇質數，p^2 +11是偶數，而p^2 + 11 = 2^5 也無解，因此剩兩組，

現令p=2k+1(k≥1)。

p^2 + 11 =2b^2 => 4k^2+4k+12 = 2b^2 => 令b=2t => k^2+k+3 = 2t^2 ，但k^2+k恆為偶

數，故無解。

p^2 + 11 = 4a => k^2+k+3 = a ，兩邊對3同餘，因a是不為3的質數，得k = 3s+1(s≥0)，

帶回p得p = 6s+3 = 3(2s+1) => s=0，此時a也恰好=5是質數，故p=3是唯一解。

4.

這最快的方法還是取餘數找循環節，又不用想，多好阿~

此內容已被編輯, September 21, 2010 ,由 howt

[曾阿牛 10]

感謝 passiontcfsh 大大提供這麼多有趣的問題

也感謝 howt 大大分享解題觀點