微積分 - 極限 一題

[liltwnboiz 10]

f(x)=0 if x屬於有理數

=1 if x屬於無理數

證明f(x)為一個處處不連續的函數

本人剛接觸到大一微積分

第一堂課老師就放大絕給了這個範例...

完全沒有頭緒

希望板上有高手可以解答 謝謝

此內容已被編輯, September 18, 2010 ,由 liltwnboiz

[actino 10]

這樣不就只是證明

數線上 任兩個無理數間必存在一有理數

任兩個有理數間必存在一無理數

而根據其對應的函數值

當然這個函數處處不連續啦~~~

[core2 10]

要說明函數f(x)在x=a處連續，

必須滿足下列三個條件，

(1) f(a)存在，

(2) lim(x→a)f(x)存在，

(3) lim(x→a)f(x)=f(a)。

本題函數已滿足條件(1)，

因為x為有理數f(x)=0，x為無理數f(x)=1，

所以要證明本題函數f(x)處處不連續，

等於要證明對任意數a其lim(x→a)f(x)皆不存在，

如果lim(x→a)f(x)處處存在的話，

則要證明對任意數a其lim(x→a)f(x)≠f(a)。

[core2 10]

在書上看過類似的題目，

解法提供大家參考。

由函數連續的定義可知，

對任意a而言lim(x→a)f(x)=L存在，

是f(x)函數處處連續的基本條件，

因此假設對任意a而言lim(x→a)f(x)=L存在

取ε=1/3，則須存在δ>0使得

若0<∣x-a∣<δ，則∣f(x)-L∣<1/3

令x1為有理數且滿足0<∣x1-a∣<δ

再令x2為無理數且滿足0<∣x2-a∣<δ

依題目函數定義f(x1)=0、f(x2)=1

則0<∣x1-a∣<δ→∣f(x1)-L∣=∣0-L∣<1/3

-1/3<0-L<1/3

-1/3< L<1/3

又0<∣x2-a∣<δ→∣f(x2)- L∣=∣1- L∣<1/3

-1/3<1- L<1/3

-4/3<- L<-2/3

2/3< L<4/3

產生矛盾(因為L值域不一致)

故知L不存在，即對任意a而言lim(x→a)f(x)不存在

由此可知f(x)為一個處處不連續的函數＃

[actino 10]

這個假設"若0<∣x-a∣<δ，則∣f(x)-L∣<1/3"

好像是滿足Lipschitz condition情況下

此內容已被編輯, September 21, 2010 ,由 actino