數論延伸(急)

[passiontcfsh 10]

(急)大家吃飽飯後有空想想吧

下午就會用到

題目:試確定是否存在正整數n,使(1996^n)-1整除(1997^n)-1

[core2 10]

n=36，72，108，‧‧‧，36k (k屬於N)

可能可以整除，

不保證，

僅供參考。

補充說明：

如果我沒有想錯，

這一題等於是在問，

1995是否能整除2^n-1。

再補充過程：

(1996^n-1)∣(1997^n-1)

因為(1996^n-1)=(1996-1)(1996^(n-1)+…)=1995(1996^(n-1)+…)

又因(1997^n-1)=(1995+2)^n-1=1995^n+…+2^n-1=1995((1995^(n-1)+…) +2^n-1

所以(1996^n-1)∣(1997^n-1)=1995∣2^n-1=(3×5×7×19)∣2^n-1

3∣2^n-1→n=2，

5∣2^n-1→n=4，

7∣2^n-1→n=3，

19∣2^n-1→n=18，

取最小公倍數n=36，

故推

1995∣2^n-1→n=36，

此內容已被編輯, September 10, 2010 ,由 core2

[howt 10]

(急)大家吃飽飯後有空想想吧

下午就會用到

題目:試確定是否存在正整數n,使(1996^n)-1整除(1997^n)-1

不存在。

當n是偶數，(1996^n)-1顯然恆為1997的倍數，因此不能整除(1997^n)-1

當n是奇數，(1996^n)-1恆為5的倍數；

若n=4k+1，由於2^4≡1(mod 5)，因此 1997^(4k+1)≡2^(4k+1)≡2 (mod 5)

若n=4k+3，則1997^(4k+3)≡2^(4k+3)≡3 (mod 5)

也就是 [1997^(4k+1)] -1 以及 [1997^(4k+3)] -1都不被5整除，也因此不被(1996^n)-1整除

[core2 10]

n=36，72，108，‧‧‧，36k (k屬於N)

再補充過程：

(1996^n-1)∣(1997^n-1)

因為(1996^n-1)=(1996-1)(1996^(n-1)+…)=1995(1996^(n-1)+…)

又因(1997^n-1)=(1995+2)^n-1=1995^n+…+2^n-1=1995((1995^(n-1)+…) +2^n-1

所以(1996^n-1)∣(1997^n-1)=1995∣2^n-1=(3×5×7×19)∣2^n-1

3∣2^n-1→n=2，

5∣2^n-1→n=4，

7∣2^n-1→n=3，

19∣2^n-1→n=18，

取最小公倍數n=36，

故推

1995∣2^n-1→n=36，

此法有誤，

以上過程只說明了，『1995是 (1996^n)-1、(1997^n)-1的公因數』，

並非『(1996^n)-1整除(1997^n)-1』，

忙中有錯非常抱歉。