向量何為0

[第六天魔王 10]

最近有人問的問題

假如三角形ABC的重心為G 內心為I 垂心為H 外心為O 旁心為Ia Ib Ic

叁邊a b c

試問 a(AP向量)+b(BP向量)+c(CP向量)=0向量

當P為重心 內心 垂心 外心 旁心

a b c為多少

重心是(1/3) 內心是(a/a+b+c,b/a+b+a,c/a+b+c)吧

其他我就不知道了

[core2 10]

恕我眼拙，

你的問題是否在問，

x(AP向量)+y(BP向量)+z(CP向量)=0向量

當P為重心 內心 垂心 外心 旁心

x、y、z為多少，

如果是的話，

P為重心：x=y=z=1，

P為內心：x=a、y=b、z=c，

其他不知。

此內容已被編輯, August 30, 2010 ,由 core2

[第六天魔王 10]

打錯了

sorry

的確

重心和內心同上所述

[00 10]

q(AP向量)+r(BP向量)+s(CP向量)=0 (我改用q,r,s以免和三邊長搞混)

其實q,r,s的值不重要，重要的是比例，所以你不算打錯。

提供這個問題另一個想法

q(AP向量)+r(BP向量)+s(CP向量)=0等價

q(PA向量)+r(PB向量)+s(PC向量)=0

延伸(縮短)PA使PA'=qPA

同樣地

PB'=rPA

PC'=sPC

PA'+PB'+PC'=0故P是A'B'C'的重心

area(PA'B')=area(PB'C')=area(PC'A')，由三角形面積=兩邊長相乘*sin(夾角)不難知道

area(PAB):area(PBC):area(PCA)

=s:q:r

也就是說，你想知道這些係數的比例，你只要知道被分割的三個三角形面積比就好了。

以外心(O)為例，由圓周角和圓心角的關係我們知道

角OAB=2角C (或pi-2角C如果角C是鈍角，底下一樣)

角OBC=2角A

角OCA=2角B

s:q:r

=area(OAB):area(OBC):area(OCA)

=0.5R^2*sin(2C):0.5R^2*sin(2A):0.5R^2*sin(2B) (R=外接圓半徑，ABC表示角度)

=sin(2C) : sin(2A) : sin(2B)

如果一定要用邊長表示

q:r: s

=sin(2A) : sin(2B) : sin(2C)

=2sinAcosA:2sinBcosB:2sinCcosC

=2a(b^2+c^2-a^2)/2bc:2b(a^2+c^2-b^2)/2ca:2c(a^2+b^2-c^2)/2ab (這裡同時用了正弦餘弦定理)

=a^2(b^2+c^2-a^2):b^2(a^2+c^2-b^2):c^2(a^2+b^2-c^2)

其他的心就留給你自己想了，方法類似。

[core2 10]

q(AP向量)+r(BP向量)+s(CP向量)=0 (我改用q,r,s以免和三邊長搞混)

其實q,r,s的值不重要，重要的是比例，所以你不算打錯。

提供這個問題另一個想法

q(AP向量)+r(BP向量)+s(CP向量)=0等價

q(PA向量)+r(PB向量)+s(PC向量)=0

延伸(縮短)PA使PA'=qPA

同樣地

PB'=rPA

PC'=sPC

PA'+PB'+PC'=0故P是A'B'C'的重心

area(PA'B')=area(PB'C')=area(PC'A')，由三角形面積=兩邊長相乘*sin(夾角)不難知道

area(PAB):area(PBC):area(PCA)

=s:q:r

也就是說，你想知道這些係數的比例，你只要知道被分割的三個三角形面積比就好了。

以外心(O)為例，由圓周角和圓心角的關係我們知道

角OAB=2角C (或pi-2角C如果角C是鈍角，底下一樣)

角OBC=2角A

角OCA=2角B

s:q:r

=area(OAB):area(OBC):area(OCA)

=0.5R^2*sin(2C):0.5R^2*sin(2A):0.5R^2*sin(2B) (R=外接圓半徑，ABC表示角度)

=sin(2C) : sin(2A) : sin(2B)

如果一定要用邊長表示

q:r: s

=sin(2A) : sin(2B) : sin(2C)

=2sinAcosA:2sinBcosB:2sinCcosC

=2a(b^2+c^2-a^2)/2bc:2b(a^2+c^2-b^2)/2ca:2c(a^2+b^2-c^2)/2ab (這裡同時用了正弦餘弦定理)

=a^2(b^2+c^2-a^2):b^2(a^2+c^2-b^2):c^2(a^2+b^2-c^2)

其他的心就留給你自己想了，方法類似。

感謝你的指正與分享，讓我受益良多，這裡再補上兩個心。

垂心：

設三高AD,BE,CF交於H

area(AHB)：area(AHC)

= area(ADB)：area(ADC)(公用邊)

=DB：DC

=ccosB：bcosC(投影定理)

=sinCcosB：sinBcosC(正弦定理)

=(sinC/cosC)：(sinB/cosB)

=tanC：tanB

同理area( CHA)：area(CHB)=tanB：tanA

得area(BHC)：area(CHA)：area(AHB)=tanA：tanB：tanC

內心：

設三內角平分線AD,BE,CF交於I

area(AIB)：area(AIC)

= area(ADB)：area(ADC)(公用邊)

=DB：DC

=c：b(內分角線定理)

同理area(BIA)：area(BIC)=c：a

area(AIB)：area(CIA)：area(BIC)=c：b：a

此內容已被編輯, September 2, 2010 ,由 core2

[core2 10]

打錯了

sorry

的確

重心和內心同上所述

不用sorry，是我看錯了。

看你對向量這麼有興趣，這裡也提供一則某高中段考面積比的問題給你玩。

三角形ABC中，D點在BC上且BD: DC=3: 2，E點在AC上且CE : EA=4 :1，F 點在AB上且，AF : FB=1: 2又G為三角形DEF的重心，試問：

(1)若(AG向量)=x(AB向量)+y(AC向量)，求(x, y)

(2)面積比area(AGB) : area(BGC) : area(CGA)為多少

答案：(1)(11/45，4/15) (2)12：22：11