幾題簡單數學題><

[gauss_legend77 10]

1.一個盤子中有145塊糖果，甲乙兩人輪流取糖果，由甲先取，每次可以取出1, 3或4塊，規定最後取完糖果者爲勝者。如果你是甲：

(1) 你要先取幾塊才能取得勝利？

(2) 你的必勝的策略是什麽？並請說明理由。

2.m、n均為正整數，m(n+1)+n(m+1)=500，求m×n 的最大值

3.若0<p、q、r<1，試證明pq+qr+pr-2pqr<1

4.（1）若四邊形ABCD內接於一圓，則AB．CD+BC．AD＝AC．BD

（2）若四邊形ABCD使AB．CD+BC．AD＝AC．BD，則A、B、C、D四點共圓。

[曾阿牛 10]

這些問題　哪一個簡單了？？

俺先解決了前兩題　"簡單"回答一下

1.　(1) 3 塊(顆)　(2) 每次取都設法讓取後的數量 (除以7) 餘 0 或餘 2

2.　mn 最大為 228

[00 10]

4.http://en.wikipedia.org/wiki/Ptolemy's_theorem#Ptolemy.27s_inequality

[曾阿牛 10]

Re #3 00　感謝大大提供 第4題 豐富的相關資訊

至於第3題　本來都沒有頭緒的說...　

後來發現　如果將題目的外觀動兩次整型手術的話　問題就可以變得親切可愛

原題的 pq ＋ qr ＋ pr ＋ 2pqr　可看成

pqr／r ＋ pqr／p ＋ pqr／q － 2pqr ＝ pqr ( 1/p ＋ 1/q ＋ 1/r － 2 )

第一個手術是：

令 1/p ＝ a　1/q ＝ b　1/r ＝ c　[ a, b, c ＞ 1 ]　　可得

pq ＋ qr ＋ pr ＋ 2pqr ＝ ( 1／abc ) ( a ＋ b ＋ c － 2 )　　因此

pq ＋ qr ＋ pr ＋ 2pqr ＜ 1　若且唯若　( 1／abc ) ( a ＋ b ＋ c － 2 ) ＜ 1　若且唯若　 ( a ＋ b ＋ c － 2 ) ＜ abc

欲證明 pq ＋ qr ＋ pr ＋ 2pqr ＜ 1　就變成證明 ( a ＋ b ＋ c － 2 ) ＜ abc　這裡 a, b, c ＞ 1

第二個手術是：

令 a ＝ 1 ＋ A　 b ＝ 1 ＋ B　 c ＝ 1 ＋ C　 [ A, B, C ＞ 0 ]　　則有

( a ＋ b ＋ c － 2 ) ＝ ( 1 ＋ A ) ＋ ( 1 ＋ B ) ＋ ( 1 ＋ C ) － 2 ＝ 1 ＋ A ＋ B ＋ C

abc ＝ ( 1 ＋ A ) ( 1 ＋ B ) ( 1 ＋ C ) ＝ 1 ＋ A ＋ B ＋ C ＋ AB ＋ BC ＋ AC ＋ ABC