微積分 ( 多變數之連鎖律 )

[曾阿牛 10]

考考大家一個問題

超過一週　若無人解出　將公佈解答

[哇雞 10]

令tx=u , ty=v則原來的式子會變成f(u.v)=t^n f(x.y)

再將左右兩式分別對t微分

　δf　　　δf　.δu　δf　δv　...δf　....δf

　－　＝..－...－＋.－...－.＝.－X＋..－y　＝nt^n-1 f(x.y)

　δt　　　δu...δt　.δv　δt　...δu　...δv

帶入n=1 以及t=1即可得證明

　

...δf　....δf

　－X＋.－y　＝ f(x.y)

...δx　...δy

剛剛看了才發現有打錯="=.....最後忘了把u和v換回原來的tx和ty了

此內容已被編輯, May 21, 2010 ,由 哇雞

[曾阿牛 10]

姑且不論大大的過程中 有些細節不明確

光是看大大的結論　與題目所要求的　就還有段差距

提醒各位大大　別小看了這題　特別在細節的部分

雖然此題的解答 相當簡短　就像 #2 哇雞大大寫得那樣簡短

[♀小小ㄨ♂ 10]

順便也解一下我PO的那邊多變數偏微好不好

我那提到目前都還空白ˊˋ

我才剛下班吃晚餐

我晚一點在幫妳看看你的問題

(話說你的問題是什麼...!?)

[howt 10]

題目應該少給條件，即是∂f/∂x、∂f/∂y以及f(0,0)要存在

將原式移項整理得f(x,y)=f(tx,ty)/t，由於對於t>0都對，取t->0+

又取x=y=0或t->0+可得f(0,0)=0(或正負無限大)

由以上得f(x,y) = lim(t->0+) f(tx,ty)/t = lim(t->0+) [f(0+tx,0+ty)-f(0,0)]/t = ∇f‧(x,y)

=x*∂f/∂x+y∂f/∂y

[曾阿牛 10]

howt 大大的想法很棒　如果我努力地想很久的話　或許會做出跟您一樣的解決方式

不過　已經無法驗證這點了　　　因為沒有太多時間的關係　我必須看解答

在此澄清一點：題目既然要證明那等式　表示等式中 f 的兩個一階偏導(函)數都存在

或是說：如果 f 的兩個一階偏導(函)數都存在的話　則該式成立

我知道的解答裡　則是沒有用到 f(0,0) 存在 這點

所以　如果說　題目少給什麼條件的話　就是： f 的兩個一階偏導(函)數都存在

話說回來　我第一眼看到這題時　因為輕"敵"　第一個想到的解題策略就失敗

之後　一點辦法也沒有　後來是一個學弟將解答的第一個動作告訴我

我嚇到了　因為我根本不會往那地方想　0_o

知道第一步後　繼續解　雖然很謹慎的算　但還是解不出　甚至覺得題目出錯了　　唉～

此內容已被編輯, May 21, 2010 ,由 曾阿牛

[hellwd0217 10]

最近剛好看過類似的題目

固定(x,y) 令 r=||(x,y)|| = (x^2+y^2)^(1/2) 及 u=(x,y)/r u為單位向量

令 φ(t) = f(tu) 求導 φ'(t) = (∇_u)f(tu) ((∇_u)f 為對u方向的方向導數)

且因 φ(t) = f(tu) = t f(u) = t φ(1) 故 φ'(t) = φ(1) 所以 (∇_u)f(tu) = φ(1)

所以 x ∂f/∂x (x,y) +y ∂f/∂y (x,y) =

(x,y)‧∇f(x,y) = r (∇_u)f(ru) = r φ(1) = φ® = f(ru) = f(x,y)

此內容已被編輯, May 22, 2010 ,由 hellwd0217

[曾阿牛 10]

對於我知道的解法　我只是佩服它的解題技巧

對於您的解法　不只是解題技巧　我更高興見到的是此解法讓我更了解此問題的本質

您真是太厲害了

請問各位大大　我應該要現在就把解答放上來麼？

[hellwd0217 10]

沒有那麼厲害 @@..

另外提供一個差不多的題目：

f(tx,ty) = f(x,y) for all t>0 ==> x ∂f/∂x (x,y) +y ∂f/∂y (x,y) = 0

[曾阿牛 10]

Re #9 hellwd0217 大大

後來　我才注意到　(x,y)‧∇f(x,y) = r (∇_u)f(ru) 此式未必成立

也就是說　該式並不是時時都對　是有條件的　

其中一個充分條件是 f 在 (x, y) 可微

[howt 10]

在此澄清一點：題目既然要證明那等式　表示等式中 f 的兩個一階偏導(函)數都存在

或是說：如果 f 的兩個一階偏導(函)數都存在的話　則該式成立

我知道的解答裡　則是沒有用到 f(0,0) 存在 這點

其實是我多慮了，因為要求f 的兩個一階偏導(函)數處處存在，就表示f(0,0)存在了。

可能是以前函方沒好好學的積習，哈哈

[曾阿牛 10]

以下是照抄書上解答　　不多做解釋　　領悟看個人