【微積分】極限題

曾阿牛 · October 12, 2009

今天遇到一個有意思的極限問題　放上來讓大家來玩玩

$gif.latex? \displaystyle \mbox{Let}~n\in\mathbb{N}.~~\mbox{Find}~ \lim_{n\rightarrow\infty}\sin\Bigg(2\pi\sqrt{n^2+\Big[\frac{n}{3}\Big]}\Bigg).$

倒唸是章魚 · October 13, 2009

我覺得是0欸...不知道有沒有錯= ="

(直接省略高斯的我)

我的想法是討論n=3k 3k+1 3k+2...

heinsolid · October 13, 2009

拆開根號時要特別小心呢。個人喜歡用近似式(1+x)^(1/2) ~ 1+x/2 when x<<1處理。

夢境的行旅 · October 13, 2009

$gif.latex?\sqrt{x^2+\left%20[%20\frac{x}{3}%20\right%20]}=x\left%20(1+\frac{1}{x^2}\left%20[%20\frac{x}{3}%20\right%20]%20\right%20)^{\frac{1}{2}}=x(1+\frac{1}{2x^2}\left%20[%20\frac{x}{3}%20\right%20]-\frac{1}{8x^4}\left%20[%20\frac{x}{3}%20\right%20]^2-......)$

這個式子一定成立嗎？畢竟這個展開式又是一個極限，還要先確認他...... =v=

夢境的行旅 · October 13, 2009

是不是 $gif.latex?\frac{\sqrt{3}}{2}$ 我再想想

Xiang · October 14, 2009

是不是 $gif.latex?\frac{\sqrt{3}}{2}$ 我再想想

答案是這個沒錯...

題目等價於求這個極限

$gif.latex?\lim_{n\to\infty}\sqrt{n^2+\Big[\frac{n}{3}\Big]}-n=\frac{1}{6}$

考慮 $gif.latex?\Big[\frac{n}{3}\Big]=\frac{n}{3}-C$ 就好

C基本上是個常數(0或1/3或2/3) 不影響極限

曾阿牛 · November 3, 2009

#6 Xiang 大大真是一針見血　　

感謝各位大大們參與討論

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