【微積分】函數除導函數之商

woieyufan · September 16, 2009

實係數函數 f(x)= px²+qx+r

a ,b 為 f(x)=0 之2實根

試證

f '(x)= lim f(x){ [(aº+bº)/xº]+[(a¹+b¹)/x¹]+[(a²+b²)/x²]+[(a³+b³)/x ³]+……+[(a^n+b^n)/x^n] } /x

n→∞

試推廣至高次函數

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

補充條件x≠0

感謝arthurduh1修正

arthurduh1 · September 17, 2009

你記錯了，

是 $gif.latex?f$ 喔！

證明的話嘛，

我直接說明推廣後的情況囉！

假設f(x)是N次方程，n個根分別為 $gif.latex?a_1,a_2,......,a_N$

則

$gif.latex?f(x)=c(x-a_1)(x-a_2)......(x-a_N)\\\Rightarrow&space;\frac{f$

將最後一列式子看作無窮等比級數的和，接著再經整理即可得

$gif.latex?f$

PS.

有一項條件一開始都沒有考慮到，

那就是方程式的根不可以有0，(注意到證明中有除以x_i)

否則會出現0的0次方這項不定式！！！

要解決這項敗筆，可以把式子改為

$gif.latex?f$

曾阿牛 · September 18, 2009

arthurduh1 大大真厲害 ;-)　　但在下還有個疑惑

用多項式之解來表示其導函數　將有哪些優勢?

換句話說　實際應用上　有哪些狀況可以讓此等式派上用場?

或是說　這等式的精神與意函是什麼?

woieyufan · September 19, 2009

可用長除法求a^n+b^n

導函數被函數除

則最上面的商是Σ[a^i+b^i]/x^(i+1)

寫長除法不會寫出x　所以可以直接看出a^n+b^n在左邊數起第n+1項

至於/x的問題的確應該增加x≠0的條件　這點是我疏忽了

至於即使乘進多項式中並不影響

因為（引用） $gif.latex?f$

括弧內依然不存在

夢境的行旅 · September 20, 2009

$gif.latex?f(x)=c(x-a_1)(x-a_2)......(x-a_N)\\\Rightarrow&space;\frac{f$

啊，看懂了，這一步是對數微分。

看作無窮等比級數的和

是將 $gif.latex?\frac{a_{0}}{1-r}$ 反過來展開成 $gif.latex?a_{0}+a_{0}r+a_{0}r^2+...+a_{0}r^n+...$

(這個編輯器真好用XD，學會了謝謝)

不過，

已知 f (x) → 知道其n個根 →得到這個展開式

好像沒有從中得到什麼新的資訊。

djshen1217 · September 20, 2009

看了一陣子才看出來是對數微分

看來我還需要再加強...

不過這個等式還真不知道要用在哪

曾阿牛 · September 21, 2009

如果　將 $gif.latex?\frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}}{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle a_i}{\displaystyle x}}$ 看做是無窮幾何級數的話...

其公比之絕對值還必須小於1　　即　 $gif.latex?\Big|\frac{\displaystyle a_i}{\displaystyle x}\Big|<1$ 　才有意義

故應再加上　 $gif.latex?\forall i\in \{1,~ 2,~ \cdots ,~N\} \quad |a_i|<|x|$

arthurduh1 · September 21, 2009

就像#4講的，其實這個式子就是

$gif.latex?g(n)=a_1^n+a_2^n+......+a_N^n$

的生成函數。

可以方便我們做此類計算。

曾阿牛 · September 22, 2009

呃...　#4 的內容　我有幾個地方不明白

1.　怎樣用長除法求a^n+b^n ？

2.　『a^n+b^n在左邊數起第n+1項』是什麼意思？　

3.　 $gif.latex?f%27(x)=&space;\lim_{n\to&space;\infty}&space;f(x)(&space;\frac{N}{x^1}+\frac{{a_1}^1+{a_2}^1+......+{a_N}^1}{x^2}+\frac{{a_1}^2+{a_2}^2+......+{a_N}^2}{x^3}+......+\frac{{a_1}^n+{a_2}^n+......+{a_N}^n}{x^{n-1}})$

『括弧內依然不存在』是什麼意思？

順便把後來想到的問題也提出來請教

4.　給一個 f(x) 在 x=0 有定義　則 f'(x) 在 x=0 上也有意義　

　　為什麼將 f'(x) 寫成該表示法時　卻要排除 x=0？

5.　我感覺生成函數的觀點是將無窮級數 $gif.latex?a_{0}+a_{0}r+a_{0}r^2+...+a_{0}r^n+...$ 轉成 $gif.latex?\frac{a_{0}}{1-r}$

當作是一個技巧或是工具來化簡計算　算完後還得還原回級數的外觀　其著眼點在於對應的係數們

若從 $gif.latex?\frac{a_{0}}{1-r}$ 轉換成無窮幾何級數

則非得要限制公比的絕對值小於1　否則只是得到一個不符實際的結果

以上諸多疑惑　請不吝賜教

_____________________________________________________

是了　既然著眼點在於對應的係數們　

那我就明白 #4 所說的『導函數被函數除　則最上面的商是Σ[a^i+b^i]/x^(i+1)』

以上所列之問題1, 2, 4, 5 我都明白了　就剩問題3 仍不知其意

甚至　我也覺得是否排除 x=0 以及是否公比的絕對值小於1 也都不重要了　因為著眼點在於對應的係數　

現在　我明白了此等式的功用　　　非常感謝 woieyufan 和 arthurduh1 大大

唯一覺得可惜的是 woieyufan 大大在用字遣詞上有點詞不達意

woieyufan · September 22, 2009

那還真是抱歉　打字跟說話總是有段差距

而且我不會用那個軟體

我想說我看不出來我原本的/x被#2換到每一項的分母有什麼差別

這跟我記錯有關係嗎

還是我那樣寫就算不出來

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