【問題】[多項式]20090905 多項式問題7題

[txreformer 10]

[數學][問題]20090903 多項式問題7題

請各位指教 謝謝

q1

q2

q3

q4

q5

第3,4小題怎麼算

q6

q7

[DunKinG 10]

[數學][問題]20090903 多項式問題7題

請各位指教 謝謝

q1

令 f(X)=g(X+2)-3 = (X+2)^2+b(X+2)+5-3 =X^2+(b+4)X+(2b+6) =aX^2+4X+c

對照係數,得a=1,b=0,c=6 A,C,E正確

q2

f(X)=(X^2-X+1)q+(X+2)=(X-1)(X-2)q2+(9X+1)

令f(X)=(X^2-X+1)(X^2-3X+2)q3+a(X^2-X+1)(X-1)+b(X^2-X+1)+(X+2)

*a(X^2-X+1)(X-1)+b(X^2-X+1)+(X+2)=r(X),deg r(X)=3

f(1)=10=b+3,b=7

f(2)=19=4+21+3a , a=-2

得到r(X)= -2X^3+11X^2-10X+11

q3

f(X)=(X-1)(X+1)q+(5X-11)=(X-2)(X-3)q2+(-2X-6)

再假設f(X)=aX^3+bX^2+cX+d

然後帶入f(1),f(-1),f(2)以及f(3)去解四元一次聯立方程式就可以求得a,b,c,d了

暫且想不到更好的方法:|

q4

f(X)=(X^2-2X+4)q+(-10X+4)=(X^3+8)q2+r(X)

因為:(X^3+8)=(X+2)(X^2-2X+4) 三次方乘法公式

假設r(X)=aX^2+bX+c

則f(-2)=4a-2b+c可得到 c=2b-4a

在令X^2=2X-4(除以平方項)

a(2X-4)+bX+c=-10X+4

化簡得: (2a+b)X-4a+c,將c帶入 對照係數

解:2a+b=-10,-4a+b=-2得到a=-2 b=-6 c=-4

先這樣:E好多耶= =|-)

[txreformer 10]

謝謝你的回答

q3我也想不到其它解法,不過解四元一次好像也蠻快的.

q1是AE喔~

q4

我不太清楚｛X^2=2X-4(除以平方項)｝這個的意思

q1

令 f(X)=g(X+2)-3 = (X+2)^2+b(X+2)+5-3 =X^2+(b+4)X+(2b+6) =aX^2+4X+c

對照係數,得a=1,b=0,c=6 A,C,E正確

q3

解四元一次聯立方程式就可以求得a,b,c,d了

暫且想不到更好的方法:|

[倒唸是章魚 10]

Q3

設f(x)=(ax+b)(x²-1)+5x-11

再將x=2 , 3代入解聯立

f(2)=-10=3(2a+b)-1

f(3)=-12=8(3a+b)+4

Q6

x=1代入得a-b+1=0

原式=ax^8-(a+1)x^7+1

=ax^7(x-1)-x^7+1

=(x-1)(ax^7-x^6-x^5-...-1)

所以(ax^7-x^6-x^5-...-1)有一根1 代入

得a=7 , b=8

---

或者原式微分有一根1

8ax^7-7bx^6=0

8a-7b=0

a-b+1=0解聯立也可以

[txreformer 10]

Q3

設f(x)=(ax+b)(x²-1)+5x-11

再將x=2 , 3代入解聯立

f(2)=-10=3(2a+b)-1

f(3)=-12=8(3a+b)+4

Q6

x=1代入得a-b+1=0

原式=ax^8-(a+1)x^7+1

=ax^7(x-1)-x^7+1

=(x-1)(ax^7-x^6-x^5-...-1)

所以(ax^7-x^6-x^5-...-1)有一根1 代入

得a=7 , b=8

---

或者原式微分有一根1

8ax^7-7bx^6=0

8a-7b=0

a-b+1=0解聯立也可以

謝謝您~

原來可以用微分去解啊

f (1)

f '(1)

[曾阿牛 10]

Q4 有個稍微簡單的求法：

令 f 除以 x^2 -2x +4 的商式為 q　　再令 q 除以 x +2 的商式為 q'　餘式(數)為 r

則有　f ＝ ( x^2 -2x +4 )．q -10x +4 ＝ ( x^2 -2x +4 )．[ ( x +2 )．q' +r ] -10x +4

因 x +2 是 f 的因式　故 0 ＝ f(-2) ＝ 12r +24　得 r ＝ -2

又注意到 f 除以 x^3 +8 ＝ ( x^2 -2x +4 )．( x +2 ) 的餘式為 ( x^2 -2x +4 )．r -10x +4

將 r ＝ -2 帶入　即為所求

以上方法也可用來解決 Q5　但樓主只問 3 和 4 小題

又 3 和 4 小題其實是同一個問題　故在此只解第 3 小題：

用以上方法　再搭配第 2 小題之結果　可得

f ＝ [ ( x -1 )^2．( x -2 ) ]．[ q．( x -2 ) +r ] +2x +1

故 f 除以 ( x -1 )^2．( x -2 )^2 的餘式為　r．( x -1 )^2．( x -2 ) +2x +1　　接下來　利用

f 除以 ( x -2 )^2 的餘式 等於 r．( x -1 )^2．( x -2 ) +2x +1 除以 ( x -1 )^2．( x -2 )^2 的餘式

來解 r　　個人是用(長)除法 再比較係數　將 r 求出

Q7 的答案　係數很大呀　至少超過 2^50 　不是不會算　是不想(用手)算 :P

只能說題目數字沒有經過設計　

Re #3 txreformer　　在 #2 DunKinG 的Q4 的 X^2=2X-4(除以平方項)

意思是 將 r(X)=aX^2+bX+c 除以 X^2-2X+4 的意思　

而其所得到的餘式正是 a(2X-4)+bX+c=-10X+4

至於它的原理　在下先不說　看看有沒有大大跳出來說明

另外　在 #2 DunKinG 的Q1 做法是完全正確的　但在作答時多選到選項 c

[txreformer 10]

謝謝回答

原來可以把q換成 ()．q' +r

q7真的沒好辦法做嗎?

[lumath 10]

關於q7: Ans:6^50

先解出X^2+2X+3之兩複數根，

在將，X^2+2X+3之兩複數根，換成極式

後面的100次方直接用棣美弗，

解出aX+b 中的a為0，然後解b，

最後b=6的50次方。

(懷疑題目出錯!)

過程不難，我現在沒時間打，改天再完整列出，

千萬別用暴力，把100次方爆開~

(杜絕暴力!!)

(解法...應該沒錯!沒時間驗算~)

[txreformer 10]

關於q7: Ans:6^50

先解出X^2+2X+3之兩複數根，

在將，X^2+2X+3之兩複數根，換成極式

後面的100次方直接用棣美弗，

解出aX+b 中的a為0，然後解b，

最後b=6的50次方。

(懷疑題目出錯!)

過程不難，我現在沒時間打，改天再完整列出，

千萬別用暴力，把100次方爆開~

(杜絕暴力!!)

(解法...應該沒錯!沒時間驗算~)

我還是不會解~

[訪客 yi416]

請無視我原先的解法 過程有誤 原想利用二項式定理解答 但除式似乎無法配方成必要形式

抱歉