【數學】試探討方程式和座標及判別式之關係

[極‧KID 11]

(新修版)

前言：何謂方程式?何謂多項式?

方程式就是有"等號"的式子，如y = ax^2+bx+c

多項式就是沒有"等號"的式子，如ax^2+bx+c

---------------------------------------------------------------------------------這是分格線---------------------------------------------------------------------------------

大家都知道一元二次方程式的公式為f(x) = y = ax^2+bx+c

而在座標平面上，其實就是f(x)這個函數表示的東西是ax^2+bx+c 這個東西

而我們設定ax^2+bx+c這個函數，把不同的x帶入後會跑出不同的數值：y

可能這是大家都會在課本上面看到的說明，但是不太懂究竟在說什麼

我舉個應該滿易懂的例子：

今天我們買了一部機器，它的名字就叫作A

而A這個機器呢，他只肯吃金屬這種原料

如果塞入其他原料他就不會有反應

而A機器他只要把原料放進去

機器就會進行像是加熱融化鐵、倒入腳踏車鋼骨的模型成形等一系列內部的各個程序運作

最後就會跑出一台腳踏車

今天我們放入鐵、銅、鎳等不同的原料進去，就會跑出不同款式的腳踏車出來

根據上面的例子，我們把

A這個代號換成f(x)

這邊我稍微說明f(x)：

f(x)原本的英文叫做function of x ，簡稱f of x。中文翻譯可翻為表達x的函數

口語化一點就是這個函數的長相(ax^n+bx^(n-1)+....)是用x這個代數去表達的

我覺得上兩行應該還是會很多人看的懂字面意思但是卻還是不懂究竟裡面想表達啥xd

我想用符號的長相來說明：

f(x)，你可以視為他就是機器的外觀，(x)就是機器塞入原料的口，他的口就長成x

今天機器口就是長這樣

你不塞x給他吃，偏偏塞啥p阿q阿，他當然不想鳥你

所以跑出來當然沒東西(所以當方程式沒有常數時=0，有常數時=常數)

就像工廠要金屬原料(x)你卻給他木頭(p)，他才不想理你勒

金屬這個代號換成x

不同的金屬換成不同數值的x

一系列內部的各個程序這個代號換成ax^2+bx+c

跑出一台腳踏車這個代號換成y

我想應該就能稍微理解f(x)、ax^2+bx+c、y 這三個元素之間是如何運作

以及f(x)為何只能塞入x而不能塞入其他的未知數如Z、P、Q等

為何不同的f(x) 塞入不同的x就會跑出不同的數值y

而其實座標就是表達出在某個特定機器(方程式)塞入他能吃的原料後

所跑出的各種產品(數值)

而我們把座標上的每個點連起來，就變成一條線

所以其實座標上方程式的圖案，就只是把無限的方程式解(跑出的產品(數值))連接起來出現的線形圖案而已

其實要說更簡單f(x)和ax^2+bx+c的關係

你可以說：14這個數字我們可以寫成3*2^2 + 4*2 + (-6) 這個繁瑣的數學算式

今天我們把上列的數學算式所有的2 換成x 不就變成3x^2+4x+(-6)

就是ax^2+bx+c 這樣的表示法了

而這邊開始說明一元二次方程式各個係數在座標上的意義

ax^2+bx+c

a：代表方程式最右邊的線方向是指向上面還是下面

如果a>0，即方向指向上，反之則向下

b：只有數甲教微積分才會稍微用到，他在微分才會特別去說明意義(是算切線斜率用的)

c：代表在f(0)的時候的y的數值

而次方代表是圖形會產生幾個波

如果是n次方的式子，就會產生(n-1)個波

就像這次我們說的是2次圖形，就只會產生2-1=1 個 波，也就是所謂開口向上或向下的圖形

這邊也就說明a為何決定了圖形的凹口

而再來就是說明判別式了(以下內容只適用一元二次方程式)

b^2-4ac這個東西是從公式解而來(公式解如何得出請自行從ax^2+bx+c開始整理，請看完這篇文的學弟妹都自己動手，你會非常清楚整個過程，花這10分鐘很值得的)

這邊有說b^2-4ac決定方程式有幾個解

這邊所謂 "解" 的意思就是y=ax^2+bx+c函數圖形與y=d(d為任意實數)這一條線有交點

感謝 忘卻的流星 修正

如果b^2-4ac：

>0，有兩個相異解(就是指在兩個不同的x值帶入方程式後，都會產生y=0這個數值)

=0，一個解或叫做重根(就是線圖只會和X軸有一個交點)

<0，叫做無解(就是和X軸沒有交點)

其實從公式解去看b^2-4ac，就可清楚知道為何結果會如同以上

假如：

>0，那公式解就會 加減(根號b^2-4ac)，就會產生兩個相異的解(和x軸交點)

=0，那公式解就會 加減0，就只會產生一個解

<0，那公式解就會 加減複數，但是在普通座標平面上無法表示有i的解，自然就是無解

目前想到就先打到這樣，如有錯誤或補充歡迎發文:p

此內容已被編輯, December 25, 2009 ,由 極‧KID
增修

[zymofei 10]

你在干什么》讲解吗？

[zymofei 10]

一个数学问题是怎么扯上金属滴%￥&……（*&……）*（&……*（）&）（很简单的就是函数和坐标的关系啊啊啊啊啊怎么扯上金属啊啊啊啊&……%￥*&……%（&

[zymofei 10]

被你一解释我怎么越看越复杂~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(5458~~~~~~~~~~~~~)

[忠良 10]

不會呀~

我覺得學長講的蠻清楚的呀~

應該做成頂文才對~

[極‧KID 11]

當初想打這篇文的用意

應該很多高中生對於函數仍然是半知半解

自己當初高三數甲會炸掉

就是學微積分以前以為已經很了解

沒想到學了微積分之後，發現其實函數很多基本的涵義都沒搞懂，導致到處卡死

就想打一篇出來希望能幫助高中學弟妹

美中不足的地方是沒有把文內的一些地方畫圖舉例

等有空我再附圖吧

[紫杉 10]

當初想打這篇文的用意

應該很多高中生對於函數仍然是半知半解

自己當初高三數甲會炸掉

就是學微積分以前以為已經很了解

沒想到學了微積分之後，發現其實函數很多基本的涵義都沒搞懂，導致到處卡死

就想打一篇出來希望能幫助高中學弟妹

美中不足的地方是沒有把文內的一些地方畫圖舉例

等有空我再附圖吧

這篇文打得不錯呀

只是發在這版感覺怪怪的

[忘卻的流星 10]

(新修版)

b^2-4ac這個東西是從公式解而來(公式解如何得出請自行從ax^2+bx+c開始整理，請看完這篇文的學弟妹都自己動手，你會非常清楚整個過程，花這10分鐘很值得的)

這邊有說b^2-4ac決定方程式有幾個解

這邊所謂的解的意思就是方程式畫出的線在y=0時候，和x軸有交點

如果b^2-4ac：

>0，有兩個相異解(就是指在兩個不同的x值帶入方程式後，都會產生y=0這個數值)

=0，一個解或叫做重根(就是線圖只會和X軸有一個交點)

<0，叫做無解(就是和X軸沒有交點)

個人覺得紅色部分這樣寫感覺不太好

y應該可以不必等於零

而是y=ax^2+bx+c函數圖形

與y=d(d為任意實數)這一條線的交點

[極‧KID 11]

個人覺得紅色部分這樣寫感覺不太好

y應該可以不必等於零

而是y=ax^2+bx+c函數圖形

與y=d(d為任意實數)這一條線的交點

對 學弟說得比較好@@

我修正一下

[忘卻的流星 10]

如果b^2-4ac：

>0，有兩個相異解(就是指在兩個不同的x值帶入方程式後，都會產生y=0這個數值)

=0，一個解或叫做重根(就是線圖只會和X軸有一個交點)

<0，叫做無解(就是和X軸沒有交點)

話說這一段是不是也要改一下??

把x軸改成y=d y=0改成y=d不然上下文似乎連接不太起來

然後我又想到 其實用y=dx+e(d,e為任意實數)也許比較好 不一定要水平線

不過理解上似乎比較難理解xd

另外我覺得弄張圖也許更好理解

[極‧KID 11]

話說這一段是不是也要改一下??

把x軸改成y=d y=0改成y=d不然上下文似乎連接不太起來

然後我又想到 其實用y=dx+e(d,e為任意實數)也許比較好 不一定要水平線

不過理解上似乎比較難理解xd

另外我覺得弄張圖也許更好理解

這段我不打算修改

因為高中生主要是探討判別式和y=0的關係

如果改成d，我怕一堆人反而會混亂(這樣就是判別是大於小於等於d的關係)

而當然y=0也可以乾脆表示為f(x) = ax^n + bx^(n-1) +.....+C(此大C為常數項,英文Constant)這條線

而整個內容就改成ax^2+bx+c和f(x)的相交關係

但就如同學弟你所言，這樣實在太複雜

在高中方程式的判別主要就是和y=0作比較

我認為還如果沒修到微積分(高三數甲就開始會碰到兩條方程式相交)，應該沒必要到那麼嚴謹複雜

我只是想幫助高中生們一個比較詳細好懂得概念而已

圖我也很想附，只是小的不才只會用小畫家= =''

而且上大學也還沒有時間撥出弄圖

看看有沒有好心人能幫我附上囉:)

此內容已被編輯, December 27, 2009 ,由 極‧KID