【討論】有理數和無理數之數量比較

[0x溫泉x0 10]

有理數的數量和無理數的數量都是無限

可是無理數卻又比有理數多

有人可以解釋一下為什麼兩個都是無線的東西還有大小之分@@?

我是知道證明:

設有理數=a

無理數=a+根號2

a是任一個有理數

而且根號2只是其中一種呢 還可以有根號3 根號5....

很明顯的 無理數數量>有理數數量

但是

有理數數量=無限

無理數數量=無限

無理數數量>有理數數量

=>無限>無限

↑這個好奇怪

請高手幫忙一下@@

[Xiang 10]

這是一個超難的東西阿

和一個set是countable或uncountable有關

要嚴格一點的話說不定還會扯到measure之類的東西

為了方便,我們就考慮在[0,1]這個範圍裡面就好了

然後假設x是[0,1]中有理數的長度,y=1-x就是無理數的長度

這邊說的長度和我們一般說的長度有點不一樣

不過你大致可以想像如果我們能把有理數和無理數隔開

(就是讓全部的有理數靠近0,無理數靠近1)

那麼我們應該就能測量出它的長度來

我想長度比較長的應該就符合所謂的"比較多"

接著我們要想辦法讓有理數或無理數能對應到一個sequence(很顯然是infinite)

也就是說,我們要想辦法去"數"它(換句話說,就是我們要把它們編號)

事實上只有有理數能做到這點

我們可以把有理數用這樣的方法編號

1/1

1/2 2/2

1/3 2/3 3/3

1/4 2/4 3/4 4/4

...

然後遇到重複的就跳過(其實不跳過也沒差XD)

於是我們就找到了一個sequence {a_n}

其中a_1 = 1, a_2 = 1/2, a_3 = 1/3, a_4 = 2/3, a_5 = 1/4 ...

顯然在[0,1]中的每個有理數都會在{a_n}中

(如果一個set能做到這點,就表示它是countable)

接著我們就要測量它的"長度"

我們考慮每個有理點a_n,我們用e/2^n的長度去蓋住它

也就是用(a_n-e/2^(n+1),a_n+e/2^(n+1))去蓋住a_n這個點

即我們用(1-e/4,1+e/4)去蓋住a_1=1,(1/2-e/8,1/2+e/8)去蓋住a_2=1/2...

所以我們可以的得到有理數的長度會小於e/2+e/4+e/6+e/8...=e

換句話說,我們給任何一個e>0,有理數的長度x都滿足x<e

根據極限的定義,我們可以得到x=0

同時我們也會得到無理數的長度y=1-x=1,y>x

大致上就是這樣,可以看出無理數比有理數多

其實上面也寫的很簡略,有些很細節的東西我也不是很清楚XD

反正想知道的話以後就會學到了阿

嗯,我想想,高微應該會學到一些(關於set的countable或uncountable)

機率(大學)說不定也會學到(在實數中選到有理數的機率是0,無理數的機率是1)

真的要學很深可能要等到研究所的measure theory吧(這我就不是很清楚XD)

反正看看就好啦

-

話說無限大和無限大要怎麼比

其實這在高中的極限就多少有學到一點

像我們考慮lim(m→inf,n→inf) m/n = ?

其實這個答案是不一定的,要看m和n的關係

像如果m=n^2拉,或n=m^2拉,或m=sin(n)拉之類的

都會導致它的極限不同,但是m或n都同時趨近無限大這樣

[曾阿牛 10]

對任何不了解、不熟悉的事　覺得難 是人之常情

"無限"是一種概念　我們用∞來表示它　　

就像1, 2, 3, 4, .... 一樣　這些符號各自表示了一個數量的概念

但你不會問"什麼是1?"　也不會問"什麼是2?　那是因為你已經對它們有了一定程度的了解

從小學的數學 到大學的微積分　對於"無限∞" 只是單純地表示了以下的概念：

對於任何自然數 n,　n<∞.　口語上來說 就是：要多大就有多大

所以從小學的數學 到大學的微積分　對於無限∞的了解　只是覺得只有一種無限

這樣單純的無限的概念　在應用上(譬如 在微積分的使用上)也就夠了

後來　數學家 在探討"無限"的時候 是透過集合的元素個數來進行

我們用 |S| 來表示 集合 S 的元素個數　則有　|N|=∞ 以及 |R|=∞

接著　人們就會問啦：那 |N|=|R| 嗎?

一直到伽俐略　才開始比較有方法去討論無限的大小層級　

但伽俐略本人是認為無限只有一種　即認為 |N|=|R|　

但後人使用了伽俐略的方法　反而發現無限應該是有層次之分的

該方法 使用到了一對一且映成的函數這概念

恐怕只有大學念數學系　才有可能學到一對一且映成的函數如何將無限分層次

個人認為該方法的原始觀點是很符合直覺的　

但是該方法所引導出的結論　往往讓人覺得不可思議

你有興趣的話也不見得要等到大學念數學系　你可以找一本集合論的書來自修　

特別是書裡　講"基數"(cardinality or cardinal number)的部分　　當然　會比較費時費力

Re #2 Xiang 大大　

在您的第二段中　使用到"長度"(或 寬度)　

雖是為了想方便說明也似乎能夠讓人感覺到數量的分別　但個人認為有令人誤解的可能

第一　數線上　分佈著的點　原本沒有寬度　(換句話說　單一的點其測度為0)

第二　假設能將有理數點全部分怖在左邊(從0開始排)　將無理數點全部分怖在右邊

排出來的結果　會是　有理數的那段的寬度是0　無理數的那段的寬度是1　

明明假設有寬度的　但後來得到寬度是0　　矛盾

所以　這是在下認為　會讓人產生誤解的地方

[Xiang 10]

Re #2 Xiang 大大　

在您的第二段中　使用到"長度"(或 寬度)　

雖是為了想方便說明也似乎能夠讓人感覺到數量的分別　但個人認為有令人誤解的可能

第一　數線上　分佈著的點　原本沒有寬度　(換句話說　單一的點其測度為0)

第二　假設能將有理數點全部分怖在左邊(從0開始排)　將無理數點全部分怖在右邊

排出來的結果　會是　有理數的那段的寬度是0　無理數的那段的寬度是1　

明明假設有寬度的　但後來得到寬度是0　　矛盾

所以　這是在下認為　會讓人產生誤解的地方

不不不,其實這一開始就和所謂的長度沒有什麼關係

不過我們還是能用"長度"的角度去解釋它

只是和極限的概念有關

首先,我們考慮用被覆蓋的長度

也就是x(e)=e/2+e/4+e/8+...=e

其中對每一點來說,它的x_n(e)=e/2^n

我們知道,當e→0的時候,x_n(e)→0,即是該點的長度

而當e→0時,有理數的長度x=x(e)

雖然理論上應該要x(e)>0(因為e>0),但是我們都知道

x=lim(e→0) x(e)=0,這是很基本的極限問題