【分享】圓中夾圓

[arthurduh1 10]

這是我自己想出來的題目，

可能需要一些數論的背景知識才會比較容易解答！

請求出以下兩個圓的集合各別的「周長和」與「面積和」

一、

第1步：作一條直線L與兩顆半徑為1的圓A,B，三者兩兩相切，其中A,B在L同側。然後再作一圓C與L,A,B均相切。接著作圓A_1與L,C,A相切；作圓B_1與L,C,B相切。

第n步 (n>1)：作圓 A_n與 L,A,A_{n-1}相切，作圓 B_n與 L,B,B_{n-1}相切。

如此重複至將近無限步，如下圖所示。

　

二、

第1步：作一條直線L與兩顆半徑為1的圓C_0,C_1，三者兩兩相切，其中C_0,C_1在L同側。

第n步 (n>1)：重新編號 C_i成為C_{2i}，作圓C_{2j-1}與L,C_{2j-2},C_{2j}相切。

如此重複至將近無限步，如下圖所示。

提示：

有些部份會使用到無法化簡的特殊數論函數；

有些部份或許會發散，也請證明之。

說得有點抽象，

其實就是不停地在每兩個圓底部的縫隙塞圓。

希望貼上的圖案對各位的理解有所幫助。

[曾阿牛 10]

第一個的總周長是 2π [ ( π^2 )/3 － 1/4 ]　　總面積則因記不起公式就寫不出來　

第二題是還沒看懂大大的遞迴關係　所以不會

另外　真好奇大大是如何設計此問題的

[arthurduh1 10]

第一個的總周長是 2π [ ( π^2 )/3 － 1/4 ]　　總面積則因記不起公式就寫不出來　

第二題是還沒看懂大大的遞迴關係　所以不會

另外　真好奇大大是如何設計此問題的

第一題周長對了:)

看起來方向是有掌握到了，那我就把相關公式po出來以供參考吧：

僅知其為無理數，與其他常數的關係仍不詳。

第二題的話嘛......

我們現在只考慮任兩顆相切的圓與直線L所形成的空隙。

一開始有A,B兩顆圓，只有一個空隙，於是我們再這個空隙中塞入一顆圓(與A,B,L均相切)

接著這三顆圓與L形成兩個空隙，第二步就是在這兩個空隙中再塞入圓

接著這五顆圓與L形成四個空隙，第三步就是在這四個空隙中再塞入圓

依次類推，

這樣有比較好懂了嗎？

其實我是隨便畫畫，想找一些題目來算算時才忽然想到這個題目，也沒什麼特殊目的啦！

(題目是想到了，可是第二題我可是花了好久才解決的呢！

最後是在翻《數論導引》時看到一個相關的式子才把它OVER的XD)

[Mr.clever 10]

大大您看起來數學好強喔!!我是高一的新生希望您能指教ˇ我怎麼讀好嗎!!拜託!!~~

[曾阿牛 10]

是華大師的數論導引吧？

嗯....　拿第一題來說　為什麼圓半徑依大小排列　正好形成 ζ(2) 所對應的數列呢？

又　大大在設計題目完之前 就知道會產生這些現象嗎？

其實我沒有真的算完　只是發現規律　就大膽猜測　　對於為什麼有這樣的現象是毫無感覺

大大您看起來數學好強喔!!　我不是大一的新生　但也希望您能分享ˇ您的讀書方法或習慣

[arthurduh1 10]

呃......

這樣我會不好意思內

其實我沒有很強啦！

只是本著興趣看了很多數學相關書籍、

平常就胡思亂想些數學題目吧......

我也沒有事先就發現它的規律啊！

真的是隨便畫一畫剛好湊到罷了！

沒錯，

就是華羅庚的《數論導引》

那本書我跟學校數學科圖書室「借」了兩年，

畢業前才拿去還XD

我覺得學數學熱情很重要啦！

不然看到一大堆看不懂的符號就暈了= =

[skywalkerJ.L. 10]

嘎嘎，arthurduh1你好

請問一下，那個圖是用什麼畫的?

看你打的字似乎是用LaTeX排出來

我記得裡面好像有可以依照指令畫出圖形

可是你的圖好像是點陣圖，不是向量0.0

所以似乎不是直接用裡面的指令??

[arthurduh1 10]

嘎嘎，arthurduh1你好

請問一下，那個圖是用什麼畫的?

看你打的字似乎是用LaTeX排出來

我記得裡面好像有可以依照指令畫出圖形

可是你的圖好像是點陣圖，不是向量0.0

所以似乎不是直接用裡面的指令??

大大是高手哩！

我圖是用GSP畫完後轉成圖像檔(wmf再轉gif)的......

沒想到LaTeX可以畫圖呀(我對他還不熟)

雖然我的圖看起來是用LaTeX排

可是那是從http://www.codecogs.com/components/equationeditor/equationeditor.php

這個線上編輯器做的(這樣比較不會佔空間嘛XD)

[skywalkerJ.L. 10]

喔喔，了解

之前都不知道有這種好東西=.=..

我每次都是打好

然後再利用截圖軟體

整個很麻煩阿0.0

是說，LaTeX是可以畫圖沒錯

不過好像是要輸入一些指令之類的

蠻複雜的，我不太會用

剛好看到有用LaTeX的人

才想問問看有沒有會用的

可以指點我0.0