【討論】負期望值下的最佳策略

[00 10]

一個思考題

你參加了賭場的抽獎活動，中了10000元籌碼，該籌碼只能玩一種遊戲，一賠一，勝率0.495，你的籌碼必須要有20000元才能兌現，請問最佳(最大機率兌現)的下注策略是?能否證明你的策略是對的?

[still791009 10]

似乎有種方法是利用等比級數來玩

但是賺的有點太慢

(2倍啦,3倍以上錢要夠多才夠本)

不過我猜大部分的人應該都看過這個方法了

以2倍來說

第一次先下注1元，

贏了繼續下注1元，輸了改下注2元

總之贏了從1元開始,輸了改下注原來的2倍

(其實k倍也可以,但是要注意指數成長很快,5的5次方就快4000囉~)

以兩倍的例子而言,只要有任何一次獲勝,

得到的錢就會是2^n元,扣去成本共2^n-1元,

保證必賺1元(若有任何一次勝的話)

至於如果有勝率的話,

我不曉得能不能求出一個k值讓這個方法變的比較有效率,

有請強者發表更有效率的方法

[still791009 10]

或者這樣說,

以兩倍的例子而言,

可以連賭12次,而全部虧本的機率約為0.022%,

如果適當的解出以下可行解

k+k^2+...+k^n<10000

(0.495^n)(k+k^2+...+k^n)+(1-0.495^n)*1

似乎可能會是可行方法

不過我想不夠精確啦~因為如果在n次之前就先贏了,

那後面的式子也就沒什麼意義了~

獻醜囉~有請強者解答吧~

[曾阿牛 10]

still791009 大大的策略讓在下多學到一種思維方式

機率不是在下的專長　但在下有一個疑惑　想請大大指點

在使用大大的策略來進行賭局的情況下

為了方便說明　在下定義一下什麼是"一個 set"

"一個 set"是指 連輸12次 或是 在連輸12次之前 贏了一次

譬如　玩一次就贏了 是一個 set　　前三次輸但第四次贏 這四次賭局就是一個 set

按照大大提供的數據　得知　玩12次 全部虧本的機率約為0.022%

以這樣的機率　可以計算一個 set 的期望值　即　(1-0.022)*1 + 0.022*(-2^12 +1) ＝ -89.112

這樣看起來恐怕不妙　因為　每發生一個 set 最多賺到1元籌碼

要到達籌碼20000　至少要發生10000次 set 　以set 的期望值來看　set 越多 玩家越不利

[arthurduh1 10]

still791009 大大的策略讓在下多學到一種思維方式

機率不是在下的專長　但在下有一個疑惑　想請大大指點

在使用大大的策略來進行賭局的情況下

為了方便說明　在下定義一下什麼是"一個 set"

"一個 set"是指 連輸12次 或是 在連輸12次之前 贏了一次

譬如　玩一次就贏了 是一個 set　　前三次輸但第四次贏 這四次賭局就是一個 set

按照大大提供的數據　得知　玩12次 全部虧本的機率約為0.022%

以這樣的機率　可以計算一個 set 的期望值　即　(1-0.022)*1 + 0.022*(-2^12 +1) ＝ -89.112

這樣看起來恐怕不妙　因為　每發生一個 set 最多賺到1元籌碼

要到達籌碼20000　至少要發生10000次 set 　以set 的期望值來看　set 越多 玩家越不利

對呀！

基本上不管怎麼玩，

期望值最高也不會超過0元，

沒有比較好的方法。

關於等比級數的玩法，

有人會說你只要玩到贏一塊錢就抽手，

不太可能會虧本?!(機率很小)

問題是這個機率很小的事件，

可是會讓你傾家蕩產，

一塊錢也不剩的！！！

如果只考慮期望值是完全不會賺錢的。

[Xiang 10]

以下答案可能是來亂的(就是沒證明的意思)

基本上對於這種期望值小於0的事情來說

賽局理論會告訴你應該不要玩,乖乖把1萬元帶回家

有點遺憾的是你不能這麼做,因為要2萬元才能

以上不是重點

重點是他的期望值小於0

所以對這個遊戲來說,基本上一定是越玩越賠的

改變每次賭的籌碼多少其實沒有任何意義

因為每次的機率都是獨立的,並不會影響

話說二樓應該算錯了喔...

賭n次的成本應該是1 + 2 + 4 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1

基本上這是不難解釋的東西

根據大數法則,當你做夠多次時你的結果會趨近於期望值,就是賠錢

結論是

最佳策略是一開始就賭10000,贏的機率會最大

[00 10]

以下答案可能是來亂的(就是沒證明的意思)

基本上對於這種期望值小於0的事情來說

賽局理論會告訴你應該不要玩,乖乖把1萬元帶回家

有點遺憾的是你不能這麼做,因為要2萬元才能

以上不是重點

重點是他的期望值小於0

所以對這個遊戲來說,基本上一定是越玩越賠的

改變每次賭的籌碼多少其實沒有任何意義

因為每次的機率都是獨立的,並不會影響

話說二樓應該算錯了喔...

賭n次的成本應該是1 + 2 + 4 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1

基本上這是不難解釋的東西

根據大數法則,當你做夠多次時你的結果會趨近於期望值,就是賠錢

結論是

最佳策略是一開始就賭10000,贏的機率會最大

這個直覺應該是正確的，只是要完整的證明的確有點困難。(我也還沒想出來)

[still791009 10]

以下答案可能是來亂的(就是沒證明的意思)

基本上對於這種期望值小於0的事情來說

賽局理論會告訴你應該不要玩,乖乖把1萬元帶回家

有點遺憾的是你不能這麼做,因為要2萬元才能

以上不是重點

重點是他的期望值小於0

所以對這個遊戲來說,基本上一定是越玩越賠的

改變每次賭的籌碼多少其實沒有任何意義

因為每次的機率都是獨立的,並不會影響

話說二樓應該算錯了喔...

賭n次的成本應該是1 + 2 + 4 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1

基本上這是不難解釋的東西

根據大數法則,當你做夠多次時你的結果會趨近於期望值,就是賠錢

結論是

最佳策略是一開始就賭10000,贏的機率會最大

賭n次的話應該是加到2^(n-1),所以真的是2^n-1,

不過我式子好像真的寫錯了= ="

不過我猜我了解你的意思

我沒有考慮到大數法則0_o

只是我很好奇

要證明到什麼形式才能夠算是"證明"???

因為從期望值的角度,不管怎麼算一定都是負的

所以...試著去算什麼才能夠代表證明???

[arthurduh1 10]

話說我#5的回覆以為勝率是0.5......Sorry

已經修改過了。

當然我說沒有比較好的方法也是錯的，

我只有用期望值看，以為所有方法的後果都是一樣的，

忘記應該要考慮的是機率。

所以在勝率小於等於0.5的情況下，#6的直接賭10000應該是最佳玩法了！

至於大於0.5的情形，就應該要1元1元賭，是吧？

要證明的應該是其他玩法能達到20000的機率都是小於0.495的吧？！

[曾阿牛 10]

在下的直覺也是一次下注10000籌碼　兌現機會最大　　現在　來做一點分析

將籌碼拆開 進行賭局的方式之中　最簡單也最便於計算的應該就是

將籌碼拆成5000和5000　分別進行賭局　以下便算算看會發生怎樣的事..

兩次皆贏(達成兌現的條件)的機率是 0.245025

一次贏一次輸(維持原狀)的機率是　0.49995　　兩次皆輸(完蛋)的機率是 0.255025

所以　達成兌現的條件 的機率是　

　 0.245025 ＋ 0.49995*0.245025 ＋ (0.49995^2)*0.245025 ＋ (0.49995^3)*0.245025 ＋ ......

＝ 0.245025/(1-0.49995) ＝ 0.490000999900009999000099990001 大約是 0.49

比 0.495 來的低一點點

這樣的結果　似乎意味著　將籌碼拆成越多部分　能兌現的機會就越低

雖然隱約感覺到為什麼會這樣　但也說不上來

[Xiang 10]

應該是可以簡單證一下

假設要賭超過一次(即第一次賭的金額<10000)

目標是使籌碼達到20000以上

case 1.

那麼假設第一次贏,那至少還要再賭第二次

(第一次贏後,籌碼<20000)

不管第二次之後怎麼賭,都不可能使金額100%增加(期望值<0)

也就是第二次以後要使籌碼要達到20000以上的機率會<1

可得全部(第一次+之後)使籌碼達20000以上的機率會<0.495

case 2.

假設連續輸n次後才第一次獲勝

因為連續輸過n次,所以籌碼會<10000

之後與 case 1.相同

則全部(輸n次+第一次贏+之後)使籌碼達20000以上的機率會<(1-0.495)^n*0.495<0.495

都比只賭一次(押10000)機率還低

[arthurduh1 10]

呃......

晚上我在家也想到一個證法。

我把我的說一遍好了。

到達20000元之前的那一次必定要贏，也就是最後一定會乘一個0.495。

如果第一次就賭10000元，

就成為1*0.495；

假如第一次不賭10000元，

無可避免地會有一直輸的可能，此機率至少有0.505^10000

也就是到達20000元的機率<0.495*(1-0.505^10000)

但是後來我發現我們兩個的證法好像有漏洞。

因為若勝率>0.5，用這些證法依然會得出一次賭10000元是最佳方法。

問題這是錯的。

就我的證法，

0.495*(1-0.505^10000)中的1是錯的。

我們定義「勝利點」是：你在擁有某些籌碼時，賭下一個賭注，這個賭注一旦勝利就會使你的籌碼到達20000元

0.495後面所應該要乘的，就是到達勝利點的「機率總和」，精確來說是到達勝利點的「次數期望值」

而這個期望值的最大可能值不一定等於1，

因為當你在勝利點輸掉時，仍有可能再次到達勝利點！！！

就#11的證法，

case 1與case 2所算出來的機率應該要相加(0.459+0.459)，

而不是做平均(0.459*0.459+0.505*0.459)，

因為您已經把第一步的機率乘進case裡了！

另外「不管第二次之後怎麼賭,都不可能使金額100%增加(期望值<0)」中，

「金額不可能100%增加」不必然導致「期望值<0」的結果，

但是我覺得期望值的正負應該是個關鍵因素。

也許有看漏、想錯的地方，

歡迎各位的指正。

還有我表達得可能不是很理想，

如果有文意不清之處也歡迎提出來！

[Xiang 10]

噢對,應該要把case1和case2的機率加起來

至於那個要把金額增加的機率<100%

嗯,其實他跟期望值沒有什麼關係,只要獲勝率<100%就可以了

所以現在要證一個東西就好了

就證只要獲勝率p<0.5

則不管經過多少次的賭局

要使獲勝金額>輸掉的金額的機率會<0.5

還蠻直觀,但是不好證的東西

應該去學學大學機率就可以輕鬆證啦

如果上面那個證完了

就可以用之前提到的case1和case2

可得到機率<0.5*0.495+0.5*0.495=0.495

真是麻煩呢XDDD

[still791009 10]

我覺得我這個證法一定是錯誤的!!!

但是打上來讓各位強者笑一下......

假設真的有一種玩法真的能夠讓兌現機率大於0.495

令其達成機率為p,因為最後一次必勝,

所以得p=0.495x(完成將勝條件之機率)>0.495

得到(完成將勝條件之機率)>1,但矛盾,所以不存在

Ya~然後我就不知道了......

總之這只是放上來讓大家笑一笑的>"<

樓下請繼續

[arthurduh1 10]

我覺得我這個證法一定是錯誤的!!!

但是打上來讓各位強者笑一下......

假設真的有一種玩法真的能夠讓兌現機率大於0.495

令其達成機率為p,因為最後一次必勝,

所以得p=0.495x(完成將勝條件之機率)>0.495

得到(完成將勝條件之機率)>1,但矛盾,所以不存在

Ya~然後我就不知道了......

總之這只是放上來讓大家笑一笑的>"<

樓下請繼續

跟我的方法一樣耶！

至於錯誤的原因我也講過囉！如下

就我的證法，

0.495*(1-0.505^10000)中的1是錯的。

我們定義「勝利點」是：你在擁有某些籌碼時，賭下一個賭注，這個賭注一旦勝利就會使你的籌碼到達20000元

0.495後面所應該要乘的，就是到達勝利點的「機率總和」，精確來說是到達勝利點的「次數期望值」

而這個期望值的最大可能值不一定等於1，

因為當你在勝利點輸掉時，仍有可能再次到達勝利點！！！

0.495x中的x是機率總和(或說次數期望值)，有可能會大於1的！

這個題目真是令人困擾啊......