【數列級數】一題數列極限

mmmmmmmm8 · August 21, 2009

A_n 和 B_n為正整數數列，且滿足A_1=1 ，B_1=1 ，

A_n + 2^1/2 B_n =( A_n-1 + 2^1/2B_n-1 )^2

若2B_n / A_n < 2^1/2，則 {2B_n / A_n }收斂到2^1/2

arthurduh1 · August 21, 2009

呃......

圖片的URL不能貼自己電腦裡的路徑喔！

要把圖片放到網路空間大家才看得到！

arthurduh1 · August 26, 2009

2^1/2可能改成2^(1/2)大家比較看得懂！

(i)首先證明極限存在性

由 $gif.latex?\inline&space;(A_{n-1}+\sqrt{2}B_{n-1})^2={A_{n-1}}^2+2\sqrt{2}A_{n-1}B_{n-1}+2{B_{n-1}}^2=A_{n}+\sqrt{2}B_{n}$ 知

$gif.latex?\inline&space;\left\{\begin{matrix}&space;A_n={A_{n-1}}^2+2{B_{n-1}}^2&space;\\&space;B_n=2A_{n-1}B_{n-1}&space;\end{matrix}\right.$

又由 $gif.latex?\inline&space;\frac{2B_n}{A_n}&space;<&space;\sqrt{2}\Rightarrow&space;\sqrt{2}B_n<A_n$ (其實這項條件可以證明，題目等於是多給的)

得 $gif.latex?\inline&space;({A_n}^2+2{B_n}^2)B_n<2{A_n}^2B_n\Rightarrow&space;\frac{B_n}{A_n}<\frac{2A_nB_n}{{A_n}^2+{B_n}^2}\Rightarrow&space;\frac{2B_n}{A_n}<\frac{2B_{n+1}}{A_{n+1}}$

因為 $gif.latex?\inline&space;\frac{2B_n}{A_n}$ 是一遞增數列且有界，

故存在極限。

(ii)

令 $gif.latex?\inline&space;\frac{2B_n}{A_n}=S_n$ 且其極限為s

$gif.latex?\inline&space;\left\{\begin{matrix}&space;A_n={A_{n-1}}^2+2{B_{n-1}}^2&space;\\&space;B_n=2A_{n-1}B_{n-1}&space;\end{matrix}\right\Rightarrow&space;S_n=&space;\frac{2B_n}{A_n}=\frac{4A_{n-1}B_{n-1}}{{A_{n-1}}^2+2{B_{n-1}}^2}=\frac{4S_{n-1}}{2+{S_{n-1}}^2}$

又 $gif.latex?\inline&space;S_n$ 恆正，有極限的充要條件是 $gif.latex?\inline&space;\frac{S_n}{S_{n-1}}=1$ 即

$gif.latex?\inline&space;\lim_{n\to&space;\infty}\frac{4}{2+{S_{n-1}}^2}=1&space;\Rightarrow&space;\lim_{n\to&space;\infty}S_{n-1}=\sqrt{2}=s$

有些繁雜計算我省略了，希望不至於使您看不懂。

極限的證明還有許多其他不同方法，在此僅舉一例。

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