【數列級數】規律無窮級數

[woieyufan 10]

一規律無窮數列

a , b , c ,25,20,16,14,12,11,10,9,8,7,7,6,6,5,5,5,5,4,4,4,4,4,3,3,3,3,3,3,3,3,

2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1......1,0.........

求前三項值

(2x17, 1x50, 0無限)

沒有意外的話我是原作

無聊弄個題目來玩玩

[arthurduh1 10]

其中的中括號是高斯記號(floor函數)

第一項是100

第二項是50

第三項是33

應該沒錯吧？！

[woieyufan 10]

其中的中括號是高斯記號(floor函數)

第一項是100

第二項是50

第三項是33

應該沒錯吧？！

答對了

[夢境的行旅 10]

精華文?!

[Xiang 10]

我也不懂這篇精華在哪

不就是隨便寫一個數列

叫別人猜其他項而已

況且這答案還不唯一

只是剛好有人猜對罷了

有什麼好精華的...

[arthurduh1 10]

我也不懂這篇精華在哪

不就是隨便寫一個數列

叫別人猜其他項而已

況且這答案還不唯一

只是剛好有人猜對罷了

有什麼好精華的...

是沒錯啦！

這種找規律的問題從來沒有標準答案。

不過可以換個角度想想，

做數學題目或研究時有時候會代入數列前幾項的值，

然後再「猜猜看」背後的規律，

再把它證明出來。

就把這種題目當作是「數感」的訓練囉！

數學證明很理性，

可是發現數學證明的過程卻往往不是。

至於被當作精華文我也覺得有些誇張啦！

[曾阿牛 10]

兩位大大...　敬安

特別是 arthurduh1 大大 曾經幫助個人解答問題　在下獲益良多　好生感激

關於本帖問題　個人起初也和兩位大大看法相同　

認為本問題的解答不只一種　所以也沒什麼理會這一題

但事有湊巧　就在今天　在下因"公務"之故　再次思量了 Lagrange's Interpolation Formula

發現恐怕不能應用在本題上

換句話說　對於這題　想要找一個夠簡單的規律　恐怕只有 #2 所提供的規則了

所謂"夠簡單的規律"　就是可以一個式子就能交代的規則

至於為什麼在下會有這樣的主張　我現在也不說出來　按照慣例　我也只給個提示

即　題目已把第四項以後的項　都告知出來了

如果有誰不相信在下的話　大可提出另一個"夠簡單的規律"出來

誰辦得到　在下就叫誰："太師父"　:E

[Xiang 10]

我是不知道為什麼要執著在「夠簡單」上啦

畢竟真的要夠簡單可就麻煩了

例如說我可以寫一個

0.017 0.034 0.052 0.069 0.087 0.104 0.121

就這7項就好了,你能知道他的規律是什麼嗎?

當然你可以用Lagrange的方法找到一個6次多項式滿足它

但是這個多項式真的「夠簡單」嗎?

[sin(n/pi)]會不會比較簡單?

所以對這類型的東西來說,探討怎麼解它比猜還重要

其實也沒有什麼好探討的,Lagrange就找了個好方法解決這種問題

回歸到這題來說

同樣的方法當然能用,就算它有無窮多項又沒什麼問題

你大可調一下係數使那個多項式保證收斂(應該做的到)

唯一美中不足的是floor本身是個很麻煩的函數

要把多項式收斂到那個函數應該是不太可能的

不過都有人給了一個答案

要用這個答案造出其他答案實在就簡單很多

設f(x)=(1-x/4)(1-x/5)(1-x/6)(1-x/7)...

則a_n=[100/n]+b_n*f(n)

對任何數列b_n都滿足條件

這還只是其中一部分的解而已

你要把它寫成sin(f(n))或是其他有的沒有的都可以

結論是

這個問題在數學上實在沒有太大的意義

完全不認為有設精華的必要

[arthurduh1 10]

曾阿牛對不起

拖你下水了......

學長也對不起，

如果我的回答您覺得真的不對，

希望您原諒我的無知......

我也說過沒有設精華文的必要。

我是覺得這題目在數學上可能看起來沒用處

(其實還是很有用的，

那就是在尋找證明的過程。

但這門學問卻很常被忽略)

但在物理、生活等方面都有幫助。

就物理而言，人們追求「簡單的規律」，就實現在奧砍剃刀法則上面。

生活中人們也是時時在找尋規律過活的。

只是什麼失之偏頗、無聊的規律，

就要看個人感受了！

(有些智力測驗的規律我也會覺得哭笑不得啊)

「簡單」這件事情我們沒辦法證明，

只能訴諸直覺了。

(我覺得這題爭議性太大了，

放在數學版可能不太好，

應該要放到推理解謎版之類的。)

[曾阿牛 10]

arthurduh1 大大倒不用致歉　是我自己跳進來的　與您無關

一個簡單的想法　如果大家能在這論壇上互相討論而有所收獲　這才是有意思的

Keni 大大　容我再說明"夠簡單"的意思　　就是指說"一式定江山"　譬如說

f(x)=sin x ;　f(x)=x^{x^{x^{x^x}}} ;　f(x)=arcsin (ln x) ;　f(x)=(sin x)^e ; f(x)=5+x^999

這些都屬於"夠簡單"的範疇　因為它們都只有一個式子

"夠簡單"的相反是指　將定義域拆成三個以上的區塊　再分別定義該函數　譬如說

　　　　3x+1　if 0<x<5

f(x)＝{　7　　if x=5　　　

　　　　2x^2　if x>5

這樣的函數　雖然三個式子都很"簡單"　但在下反而將它視作"不夠簡單"　因為它使用了三個式子

這是站在出題者的角度來看待時　所會出現的"自然反應"

試想　如果您要讓別人猜一個規則　您心中的答案應該不會是"不夠簡單的"(好幾個式子的)

另外　如果作答時允許使用上述的"不夠簡單"的函數　那這問題　將變得 trivial

變得 比 大大講的 "猜下一項的問題" 還要 trivial

我呢　只是提供一個看待此問題的一個另一角度　而且應該是個自然的角度

就是加上限制　限制解答只能用一個式子的函數來表示其規律　

如此一來　解答真的將唯一

大大的例子.... 　f(x)=(1-x/4)(1-x/5)(1-x/6)(1-x/7)...　目前發現它在 x=1 時沒有定義

原來大大覺得無窮多項 也不會有問題呀

在下我就是發現無窮多項會出問題　才特地來理會這帖子

另外　我從頭到尾也沒贊成本帖加精華　請不要混為一談

還有　如果大大們真的覺得不妥當　寄封短信給版主　建議一下就可以了　

相信版主是個善於接受意見的人　　

但如果　咱們討論到最後的結果 發現 無窮多項是會出問題的話　那本帖就有它存在的價值了

事實上　在下已經很肯定　題目給了無窮多項　和題目沒給無窮多項　是有分別的

[heinsolid 10]

其實八樓就給出很多一條式子的另解了。我再補充幾個。

[100/n] * { |n - 7/2| / (2n - 7) + 1/2 }

[100.0001/n]

[100/n] + [1/n]

[100/n] + [2/n]

[100/n] + [3/n]

[曾阿牛 10]

好比說　0.9999...... 和 1 表面上不同　但實為同一數目

大大回想一下　函數的定義是什麼　　是不是一個 well-defined 的 relation

relation 又是什麼　　是某兩個集合 的 笛卡爾積 的 子集

簡單說　函數是個"特殊的"集合

要驗證兩個函數是否相等　就去驗證那兩個"特殊的"集合是否相等

大大所列的函數看起來不同　但若定義域都為 N 時　都是同一個函數

再說明白點　大大所找的函數(規律)　不都是支持　a 是100, b 是50, c 是33 嗎?

[heinsolid 10]

我是不是應該也把字放大一點，傳達資訊比較不會失真？

這些函數在n=1,2,3的確有不同的表現。八樓給的範例也是這樣的情形。那個(1-x/4)...的函數是多項式，對任何x都會有定義。

應該沒什麼人反對二樓的答案滿簡單的，但要輕易斷言這是唯一的簡單解，就像老師在規定一個標準答案（不繼續發展教育議題）。

用算式行數來衡量複雜度，實在忽略很多因素，比如每行算式的長度，以及不同初等函數的計算難度。

我覺得「簡單」可以定義。當然我指的是數學（計算機科學）的方式，而不是文學、心理學或哲學。

若像電腦執行運算一樣，規定好允許的操作，並為各個操作的代價賦值，那遊戲規則就很明顯了。

像[100/n]只涉及整數運算，電腦做起來要快過處理小數，甚至是超越函數。

雖然這樣子「簡單」不會只有一種定義，但至少比較好把事情交待清楚。

原題目精不精華大概也不重要了，反正馬上就離題。但像這樣多點討論好像比較有樂趣。

[Xiang 10]

大大的例子.... 　f(x)=(1-x/4)(1-x/5)(1-x/6)(1-x/7)...　目前發現它在 x=1 時沒有定義

噢,其實他有定義

只是我只顧慮到存不存在,沒想到f(1)=f(2)=f(3)=0,真可惜

這下就要找另一個函數了

f(x)={(4-x)/3}{(5-x)/4}{(6-x)/5}{(7-x)/6}...

則

f(1)=1

f(2)=0

f(3)=0

f(n)=0, where n is a positive integer, n>3.

不管怎麼說,我都確定了第一項的值不一樣

甚至我可以任意給定第一項都滿足條件(而且"夠簡單")

再說運用類似的方法也能讓第二項和第三項亂跑

我想這就不用舉例了吧

話說上面有很多人提到「簡單的規律」

基本上如果是在物理化學,甚至是工方面的應用

我們所要找的規律基本上都是初等函數

絕對不會跑出floor這種不連續又不可微的函數來

例如說對於任意的週期函數我們都會想要用正弦函數去表示

而這題在用Lagrange的方法"可能"會有問題就是因為floor函數的關係

如果他今天是一個解析的函數,那你求出來的多項式應該就會是該函數的Taylor展開

至於這題呢?

我想就用我上面所寫的方法,將Lagrange中的x-i項做些有效的變換

即可保證該多項式收斂(至少在1,2,3三點保證存在)

實在看不出有什麼大問題

再說明白點　大大所找的函數(規律)　不都是支持　a 是100, b 是50, c 是33 嗎?

我沒有仔細算過

不過他所找的最後3個很明顯不是耶...

[arthurduh1 10]

說說我解題的心路歷程吧！

我一開始也是覺得這類問題答案其實是很open的。

但是這題和我最近看到的一個數列很類似，

於是我就靜下心來想想，

最後雖然和我看過的規律不一樣，

還是「想到了其中一種解釋」(我不能說解開了= =)

引起這些風波實在是始料未及啊！

討論是好，

可是大家千萬要注意一下語氣，不要情緒化啊！

回覆中有小錯難免，

但不要因此而偏了主題啊！

我同意高斯記號實在不是很「親切」，

只是在離散數學裡應該算是常見的。

各位大大舉出的其他例子都是加上餘項，

應該都可以說是比[100/n]還複雜一點。

我沒有說我的答案是「唯一」的簡單解，

如果有人可以舉出其他簡潔的解我也會覺得很高興的。

關於這類找規律的題目，

所謂的「簡單」應該不能用理性角度去看待。

就像#8的例子我也會覺得[sin(n/pi)]是比較簡單的。

但是要證明實在是太困難了(即使有無窮項提示)，

因為不只要考慮多項式，

各式各樣常見的函數都要搬出來加以組合。

甚至我認為是不可能的，

因為「常見的」函數沒有明確的定義，

或許真的可以用圖靈機程式的長短定義「簡單」這項概念(當然還是會有爭議)，

但即使是如此，可否真的證明出來還是值得存疑的(記得哥德爾嗎？)

就算是可以，計算量也可能會太龐大，沒有人可以消化得了的。

[曾阿牛 10]

嗯嗯　在下在 #10 & #12 的錯誤都被 Keni 大大指出來了　　感謝

另外值得一提的是　以下的兩"函數"

f(x)=(1-x/4)(1-x/5)(1-x/6)(1-x/7)...　

g(x)={(4-x)/3}{(5-x)/4}{(6-x)/5}{(7-x)/6}...

說 f(x) 是多項式　是可以接受的　因為它是零多項式　而 g(x) 就不是多項式了