【微積分】不連續

[mmmmmmmm8 10]

令f:[0,1]->R ，且f 滿足下列性質: 對於每一個實數y ， 若f(x)=y不是無解，就是恰有兩個解。

試証 : 滿足上述性質的任意 f 在[0,1]內有無限多不連續點。

[arthurduh1 10]

首先說明，每個函數值連續的區間頂多只會有一段遞增子區間及一段遞減子區間。

因為若有兩段(或以上)遞增區間，那麼必定有某些y值會使得f(x)=y有三個以上的解，不合。

遞減區間亦然。

假設只有有限個不連續點，

那麼一定可以把[0,1]分為有限個互斥、函數值連續的子區間。

再把每個子區間依照遞增遞減分割，

由前段所述得知，

分割後還是僅有有限個子區間。

若這些x區間有P端是閉的，

Q端是開的，

則P-Q=2

因為[1,1]兩端點皆是閉，

中間部分開口與閉口會一一抵銷。

令有x區間[a,b]，則會有對應的y區間[f(a),f(b)]

　有x區間(a,b]，則會有對應的y區間(f(a),f(b)]

依次類推，姑且稱他們為「轉換y區間」。

因此這些「轉換y區間」的閉口數也會比開口數多兩個。...........................................(i)

又，

對任意y值，

不是完全不屬於任何「轉換y區間」，

就是屬於其中兩個(恰好)「轉換y區間」。

故我們知道若f值域的集合為S，

則會有某些「轉換y區間」彼此互斥且聯集恰好為S。

剩下的「轉換y區間」也是彼此互斥且聯集恰好為S。(知道為什麼嗎？不懂的話我可以再解釋)

S當中有可能有許多段不相連的子區間，

其中閉口數減開口數必為偶數。(因為一段區間的閉口數減開口數必為-2,0,或2)

但「轉換y區間」總共可以分為兩個獨立形成S的部分，

也就是「轉換y區間」閉口數減開口數必為2X2=4的倍數。......................................(ii)

(i),(ii)矛盾，所以作為假設的「只有有限個不連續點」是錯誤的！

以上是個人淺見，

邏輯上應該沒問題，

但我不太喜歡(敘述有點瑣碎而且有些地方很難解釋)，

希望其他大大可以po出更好的解法。

[曾阿牛 10]

arthurduh1 大大的第三段：

『若這些x區間有P端是閉的，Q端是開的，則P-Q=2

因為[1,1]兩端點皆是閉，中間部分開口與閉口會一一抵銷。』

應是[0,1]兩端是閉　　當然這種小誤　在下是不會放在心上

至於"中間部分開口與閉口會一一抵銷" 這就不見得一定是對的了

在下沒有權限放檔案上來　只好將連結放上

http://frankmath.cc/plover/Apostol.pdf

其中　在 120 頁的 4.27 的©小題就是此帖的題目

而在次頁 (121頁) 的中間有解答

不過　嘿嘿　我必須要說　他那個答案　有幾個關鍵點沒有詳細解釋

以及　最後兩步關鍵處　不知是解答寫不清楚　還是符號使用上有誤

這幾點 很可能讓讀者看不太懂

還好　這些困難我已經都克服了 :D

[ijsfkira 10]

http://frankmath.cc/plover/Apostol.pdf

竟然放上Apostol的解答XD

我收下囉~(笑)

[曾阿牛 10]

是呀　我也是千百個不願意　:E

不過　既然知道是 Apostol　就表示這問題已經屬於高等微積分了

樓主應該是高中生吧　不知為何 會問高微的問題

據在下所知　應是某個或某幾個台清交的助教熱心寫的解答　有錯誤是在所難免的　

雖然我沒有全部看　但相信這解答 解決了大部分的問題　

就算有些沒解決　也提供了一些思路　

[arthurduh1 10]

arthurduh1 大大的第三段：

『若這些x區間有P端是閉的，Q端是開的，則P-Q=2

因為[1,1]兩端點皆是閉，中間部分開口與閉口會一一抵銷。』

應是[0,1]兩端是閉　　當然這種小誤　在下是不會放在心上

SORRY，筆誤了......

好像也改不了囉！

至於"中間部分開口與閉口會一一抵銷" 這就不見得一定是對的了

嗯......

可是我找不到反例耶！

可否請大大舉個例子？

謝謝！

我知道我的證法很高中生......

也用了很多不精準的語言。

Apostol的方法我會再詳讀的！

[arthurduh1 10]

經過PM討論的結果，

重點就是：

一、我並沒有要把任何點挖掉。

二、單一一個點我是視為兩端皆為閉口的區間。

例如

就要分成[0,0.5)　[0.5,0.5] 　(0.5,1]

這三個區間。

我的語意不精確，

望各位多多包涵哪！

(大推Apostol的解法！！！)