【問題】求座標

[danny1003 10]

這題我想了很久還是沒有答案

可以麻煩各位幫我解答一下嘛~

題目如下:

三角形ABC中,其中A點為(1.1),B,C的角平分線方程式分別為

X+Y=1,X-2Y=1求B,C兩點的座標!!!

以上

麻煩各位了!!!

[夢境的行旅 10]

B: (3/ 2 , -1/ 2)

C: (3/ 5 , -1/ 5)

(有點暴力的) 法一

設內接圓半徑 r (圓心在 (1,0) ) AB 和 AC 分別是兩條切線 y-1 = ±k (x-1)

　　　　　 　　　　　

可算出k = √ 1/ r ^2 - 1

B ( -k / -k+1 , 1 / -k+1)

C( -2k+3 / -2k+1 , 1 / -2k+1)

BC 方程式 kx + (4k-3)y = k-3 而且與圓相切，即(1,0)到 BC 距離是 r

解出k = 3 ，結束

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聽起來像是某高中段考故意讓人考爆炸而放在第一題的題目。

[曾阿牛 10]

首先　直接從題目知道 A ＝ (1, 1)　且　內心H ＝ (1, 0)

因 B 在 X+Y=1 上　且 C 在 X-2Y=1 上　

所以　可令 B ＝ (1-b, b)　且　C ＝ (1+2c, c)

接下來　如果畫出概略圖形的話　可從圖形得知兩個關鍵的訊息　

也因此可以省去許多計算　

第一個訊息是　因為 線段AH 是 角A 的平分線 且 線段AH是垂直的

所以有　線段AB的斜率 ＝ － ( 線段AC 的斜率 )　

第二個訊息是　若以 角B 的平分線 ( X+Y=1 ) 當對稱軸的話　

與 A (1, 1) 對稱的點 即是原點 (0, 0)

所以　通過 B 與 原點 的直線　也會是　通過 B 與 C 的直線

由第一個訊息　可列出關係式　( b-1 )／( (1-b) -1 ) ＝ － ( 1-c )／( 1- (1+2c) )

稍做計算後得　c ＝ b／(2-b)　因此　C ＝ (1+2c, c) ＝ ( (2+b)／(2-b) , b／(2-b) )

使用兩點式 可得 通過 B 和 C 的線段方程式　[在此省略方程式不寫　寫在紙上就還滿好寫]

由第二個訊息　可知 (0, 0) 滿足該方程式　以此求出 b ＝ -1/2

接下來就不用我贅述了吧

[夢境的行旅 10]

(我覺得我的)做法很暴力

有時後算題目不是有答案了就好，反正有時間可以多研究。例如這題的做法能不能 一般化 就是一個蠻有趣的問題。做一點實驗可以發現，L1、L2決定後，並不是取任意點做為A都能找到對應的B和C。

還有，整個題目提供的訊息可以簡化為 A點座標 兩直線交點 I 座標 以及兩直線的向量。所以我想再用向量解解看這一題。

[曾阿牛 10]

您在 #2 的兩條切線方程式　也是因為 #3 的第一個訊息　才能快速的得到吧

如果 AH 不是垂直的(鉛直的)　本帖題目　恐怕非用到三角函數及其相關公式不可

相關公式像是向量內積, 隸美弗定理　等等

使用了那些相關公式　我認為一定可以解決一般的情況　但計算上會遇到麻煩

本帖題目看樣子是設計好的　才有像是 #3 的特殊解法

或許　通解的結論敘述上 並不複雜　但通解的證明過程的計算複雜度 恐怕不小

另外　敢問大大所說的"做法很暴力" 是指什麼？

[夢境的行旅 10]

就像你說的，(似乎) 若非這題的數字有設計過，兩種方法都會很難算。

我再想想能不能利用向量(內積、線性組合、分拆) 的方法，看看這題會容易計算是巧合還是有物理(......數學......)意義

[曾阿牛 10]

個人敢大膽的說　#3 的做法計算上是最簡單的　

因為計算過程中 最多只出現未知數次方是2　而且很快就消去了　所以談不上難算

我也很清楚　#3 的做法　只能解這題目給的數據　換成是一般的數據時是派不上用場的

大大可以不用在提醒我了