【問題】"平方和" 一問

曾阿牛 · July 26, 2009

個人最近在看"如何將一正整數表示成兩個平方的和"的主題

其中有一個相關的習題　個人解了很久都解不出來　想來請教各位大大

如果 p 為一質數且 p ≡ 1 　(mod 4)　則存在兩整數 a 和 b　使得 p ＝ a^2 ＋ b^2

這我沒有問題　　我解不出來的問題是：　試證明

如果限制 a ＜ b 的話　上述的數對 (a, b) 是唯一的

換句話說　就是　試證明　p 只有一種表示法可以表示成兩個平方和

arthurduh1 · July 26, 2009

令 $gif.latex?\inline&space;p=a^2+b^2=c^2+d^2$ 且 $gif.latex?\inline&space;a\geq&space;b,c\geq&space;d$

假如p可被分拆為兩組相異的平方和

不失一般性，可令c>a>b>d(注意a>b，因若a=b， $gif.latex?\inline&space;a^2+b^2=2a^2=p$ ，會導致p非質數)

由 $gif.latex?\inline&space;a^2&space;\cdot&space;p=a^2(c^2+d^2)$ 兩邊分別減去 $gif.latex?\inline&space;d^2&space;\cdot&space;p=d^2(a^2+b^2)$ 得

$gif.latex?\inline&space;(a^2-d^2)p=a^2c^2-b^2d^2\\&space;\\&space;\Rightarrow&space;(a-d)(a+d)p=(ac-bd)(ac+bd)$

由於p為質數，必定是(ac-bd)或(ac+bd)的因數，

(i)但 $gif.latex?\inline&space;p&space;>&space;c^2&space;>&space;(ac-bd)&space;>&space;a^2-b^2&space;>&space;0$

故p不為(ac-bd)的因數

(ii)又 $gif.latex?\inline&space;p^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)&space;\geq&space;(ac+bd)^2$ 此為柯西不等式，等號成立的充要條件為 $gif.latex?\inline&space;\frac{a}{c}=\frac{b}{d}&space;\Rightarrow&space;ad=bc$ ，

但已由c>a>b>d知bc>ad，故 $gif.latex?\inline&space;p^2>(ac+bd)^2&space;\Rightarrow&space;p>ac+bd$ ，得到p也不是(ac+bd)的因數

此為矛盾，所以p不會有兩種平方和表示法！！！

希望我沒想錯......

曾阿牛 · July 27, 2009

Re #2 arthurduh1　大大是自己想的嗎？　實在太厲害了　　非常感謝　

整個證明　對個人來說　最關鍵的地方在於第四和第五行　　那是我沒有想到的

arthurduh1 · July 27, 2009

其實也算是湊得的XD

我的想法是：

p是質數，

而質數的重要基本性質都是發生在乘除法，

但平方和又不像平方差一般可以因式分解，

因此我就想要由p=a^2+b^2 和 p=c^2+d^2兩式做相減，

但直接相減又會使項數太多，而且還會遺失掉重要的p，

所以就想到各乘d^2 和 a^2再相減的方法。

沒想到這樣就真的解開了XD

我覺得這題挺好玩的，

之前有看過平方和(兩平方和、三平方和、四平方和)的問題，

沒有注意到居然有這樣一個性質呢！

個人覺得這個唯一性的證明比存在性證明簡單，

如果現在叫我想存在性證明我一定還是毫無頭緒、霧煞煞......

曾阿牛 · July 28, 2009

我在試著證明唯一性的時候　的確也想到了要將" p 是質數"這條件用上　但...　唉....

存在性比起唯一性來講　就比較容易在書上找得到　

現在不論是存在性還是唯一性　我都是"學"來的　

而不是自己想出來的　　真是　一則以喜一則以憂

DUM · August 10, 2009

阿呀這是能力競賽的考古題

但忘了是幾年了==

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