【數列級數】Σ1/K

[逼勾 10]

如題

誰能證一下Σ(1/K)的結果

希望這問題不是很白痴= ="

[still791009 10]

　Σ(1/K)

＝Σ(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8......)

＞Σ(1/1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8......)

＝Σ(1/1+1/2　　+1/2　　　　　　+1/2......)

所以發散

[逼勾 10]

所以沒有Sn的公式................?

我主要是要問這個

[Xiang 10]

所以沒有Sn的公式................?

我主要是要問這個

只用初等函數的話，沒有

只能估計

[月鳴星曦 10]

如果用別的方法有辦法算出公式嗎?@@

請問是哪些方法? 會牽涉到什麼概念?

感激不盡

[夢境的行旅 10]

沒有explicit ，也就是直接以n來表達的Σ(1/K)公式

只有由歐拉得出的結果

白話文：當n趨近無窮大時 Σ(1/K) 和 ln n 的差會接近一個常數

一個簡易的證明可以在湯馬士微積分 (ed.11) 827頁 習題19 找到

簡述如下：

有個函數 f(x) 在 (0, ○○) 區間 是遞減函數，而其二次導函數恆正 (簡單說，就像上圖這樣)

現在考慮到An 是梯形面積與曲線下面積的差，也就是第n個新月形的面積

ΣAn 從圖上「看出來」有一個上界 [f (1) - f (2) ] / 2，也就是怎麼加都不會超過第一個虛線以上的三角形面積

而且每一個An 的面積明顯都是正的，ΣAn 遞增而且有上界，因此lim(n→○○) ΣAn 存在

f(x)=1/x 也是一個符合條件的函數，(形狀長得和上面一樣)，所以只要把 lim(n→○○) ΣAn 的表達式寫出的話 ，其實只和

的右式 相差 [f (1) + f (n) ] / 2 而已 (梯形上底加下底，頭尾只算一次，中間算到兩次)

f (1) 是常數，lim(n→○○) f (n)=0 因此

lim(n→○○) ΣAn 存在，表示上式的極限也存在

[夢境的行旅 10]

要說應用的話，有某些競賽題類似：

試問Σ (k=1~1000) 1/k ，最接近哪個整數

這個時候可以直接用 γ + ln n 估計，誤差小於餘項 1 / n 。

( ln10 = 2.3... ,γ =0.52... 所以最接近數是7)

[月鳴星曦 10]

大家證了那麼多

其實還是看不太懂

我就再多研究看看吧

有去圖書館看了一些微積分的書

但是發現很多都跳步 也沒有詳解~OTZ

又都是老書 都最少也二十年以上的很多xd

不曉得高三下會教得怎樣 拭目以待?!

[typhoonss821 10]

不用太期待喇

就教教公式然後一題一題代

真真要扎實的學習還是要靠自己

其實微積分的書二十年其實還不算舊

五十年後也是教這些東西

[月鳴星曦 10]

不用太期待喇

就教教公式然後一題一題代

真真要扎實的學習還是要靠自己

其實微積分的書二十年其實還不算舊

五十年後也是教這些東西

只是

真的有時候看不懂他是怎樣微分的

為啥會突然跑出的負號><

很苦惱

很多性質都搞不懂

用語都有點怪

甚至還有用"吾人"那種的

真得跳太多了 都看不懂

有沒有寫得很仔細有很多文字敘述的書呀?

很多概念光看算式是看不懂的= =

[是++ 10]

只是

真的有時候看不懂他是怎樣微分的

為啥會突然跑出的負號><

哪邊積到哪邊順序要搞清楚=)