【數與座標系】問一個參數式的問題

[嚴重過敏 10]

不定方程組ax+by=gcd(a,b)

如一個分油問題

(出自昌爸工作坊 http://www.mathland.idv.tw/fun/oil.htm)

一道趣味數學題提到，有位農夫到油行，想買兩袋5公升的麻油。但是油行裡除了三個容積分別是10公升、7公升、3公升的量油杯之外，沒有任何測量工具。油行老闆如何運用這3個量杯，倒出兩個5公升的麻油呢？

我們感到興趣的是，這3個量杯是否可以完成老闆和農夫的需求。如果量杯的容積分別是10公升、6公升、4公升或是10公升、8公升、2公升，是否也可以完成老闆和農夫的需求呢？

首先，油行老闆以10公升的量杯裝滿麻油，再將麻油在3個量杯之間倒來倒去，直到有兩個量杯的麻油體積是5公升。而這「倒來倒去」的過程，就數學來說，就是在不同量杯之間麻油容量體積上進行加減運算。從不定方程式來看這道題，我們可假設老闆將麻油倒進7公升的量杯x次；麻油由7公升量杯倒進3公升的量杯y次，因為最後7公升量杯內裝5公升麻油，所以7x-3y=5。

y=(7x-5)/3 = 2x-2+(x+1)/3

，設 t=(x+1)/3，且t 是正整數。x=3t-1，y=2(3t-1)-2+t=7t-4。所以

x=3t-1

y=7t-4

取t=1時，x=2，y=3。也就是說在倒麻由的過程中，老闆將麻油倒進7公升的量杯2次；麻油由7公升量杯倒進3公升的量杯3次。可以完成老闆和農夫的需求，倒出兩杯各5公升的麻油。

如果以(a,b,c)表示容積10公升、7公升、3公升量杯內麻油的容量，則過程是(10,0,0)-->(3,7,0)-->(3,4,3)-->(6,4,0)-->(6,1,3)-->(9,1,0)-->(9,0,1)-->(2,7,1)-->(2,5,3)-->(5,5,0)

如果量杯的容積分別是10公升、6公升、4公升，照上述假設，6x-4y=5，(6,4)=2不是5的因數，所以這個不定方程式沒有整數解。而8x-2y=5也沒有整數解，因此容積10公升、6公升、4公升的量杯或是10公升、8公升、2公升都無法完成老闆和農夫的需求的。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

其中求 t 的方法不太懂~

如何看出 t要設為 (x+1)/3??

and 方程式設為7x-3y=5 是因為 7 要倒入 3 ?所以 -3y ??

如何求最少的分油次數???

如我敘述能力不佳請包含...

[Shigure 10]

其中求 t 的方法不太懂~

如何看出 t要設為 (x+1)/3??

and 方程式設為7x-3y=5 是因為 7 要倒入 3 ?所以 -3y ??

1.次數一定是正整數

但由原本的表示法有(x+1)/3的分數出現

改用t表示可解決x.y帶有分數的問題

2.答案就在題目中

從不定方程式來看這道題，我們可假設老闆將麻油倒進7公升的量杯x次；麻油由7公升量杯倒進3公升的量杯y次，因為最後7公升量杯內裝5公升麻油，所以7x-3y=5

[Vincent stay 10]

.

此內容已被編輯, January 31, 2010 ,由 Vincent stay