【問題】絕對值的一個題目

[lance8537 10]

設x為實數，求 l x+3 l + l x-2 l + l x+1 l + l x l + l x-4 l 之最小值為?

答案是10

這要怎麼作? 請詳細解釋

我想不會是把0帶入吧?

[Smile=*- 10]

看絕對值裡的值

要怎狀況會是正還是負的來推

慢慢推

當x>=4時

全部絕對值恆正

所以可以消入絕對值

x+3+x-2+x+1+x+x-4=5x-2

當2=<x<4時

得x+3+x-2+x+1+x-x+4=3x+6

紅色的變號是因為當2=<x<4絕對值裡原本是負號後來加絕對值就變正

以類推

當0=<x<2時

得x+3-x+2+x+1+x-x+4=x+10

當-1=<x<0時

得x+3-x+2+x+1-x-x+4= -x+10

當-3=<x<-1時

得x+3-x+2-x-1-x-x+4= -3x+8

當x<-3時

得-x-3-x+2-x-1-x-x+4= -5x+2

最後當然比較上面

當x>=4時5x-2 Min為18

當2=<x<4時3x+6 Min為12

當0=<x<2時x+10 Min為10

當-1=<x<0時 -x+10 Min一定大於10

當-3=<x<-1時 -3x+8 Min一定大於10

當x<-3時 -5x+2 Min為一定大於10

故當x=0時

有Min=10

可以用畫圖來話範圍

可以看出有一點為最低點

然後兩邊往上跑類似V圖形

但是斜率會變而已

[typhoonss821 10]

l x-(-3) l + l x-2 l + l x-(-1) l + l x-0 l + l x-4 l

-3,2,-1,0,4 以中位數(0)帶入x得10

y(x)=l x-a1 l + l x-a2 l 其中 a2<a1

則a1<x y=2x-a1-a2

a2<x<a1 y=a1-a2

x<a2 y=a1+a2-2x

所以a2<x<a1 y最小

依此類推得

l x-a1 l + l x-a2 l + l x-a3 l + l x-a4 l +.....+ l x-an l 其中 a1<a2<...<an

x取 a1,a2,,,,an之中位數，所求最小

[lance8537 10]

l x-(-3) l + l x-2 l + l x-(-1) l + l x-0 l + l x-4 l

-3,2,-1,0,4 以中位數(0)帶入x得10

y(x)=l x-a1 l + l x-a2 l 其中 a2<a1

則a1<x y=2x-a1-a2

a2<x<a1 y=a1-a2

x<a2 y=a1+a2-2x

所以a2<x<a1 y最小

依此類推得

l x-a1 l + l x-a2 l + l x-a3 l + l x-a4 l +.....+ l x-an l 其中 a1<a2<...<an

x取 a1,a2,,,,an之中位數，所求最小

為什麼要取中位數?

[typhoonss821 10]

y(x)=l x-a1 l + l x-a2 l + l x-a3 l + l x-a4 l +.....+ l x-an l

若n=2k

則y(x)=l x-a1 l + l x-a2 l + l x-a3 l +....+ l x-ak l + l x-a(k+1) l+.....+ l x-a(2k) l

分為k組 即(l x-a1 l+l x-a(2k) l)+ (l x-a2 l+l x-a(2k-1) l)+….+ (l x-ak l+l x-a(k+1) l)

又若a1<x<a(2k)第一項最小，a2<x<a(2k-1)第二項最小.....

取交集 也就是ak<x<a(k+1) 所求最小

而中位數(ak + a(k+1))/2正在此區間

若n=2k+1

則y(x)=l x-a1 l + l x-a2 l + l x-a3 l +....+ l x-ak l + l x-a(k+1) l+l x-a(k+2) l+..+ l x-a(2k+1) l

分為k+1組 即(l x-a1 l+l x-a(2k+1) l)+ (l x-a2 l+l x-a(2k) l)+….+ (l x-ak l+l x-a(k+2) l) 最後一組為l x-a(k+1)l 依以上討論ak<x<a(k+2)時前k項和最小又ak<a(k+1)<a(k+1) 故取x=a(k+1) (中位數) 所求最小

[Smile=*- 10]

取中位數噢

我沒想到對絕對值有這招耶XD

大多人好像用我那種方法吧

有點類似線行規劃

話說取值中位數是補習班教的嗎0.0

[typhoonss821 10]

取中位數噢

我沒想到對絕對值有這招耶XD

大多人好像用我那種方法吧

有點類似線行規劃

話說取值中位數是補習班教的嗎0.0

老師教的(不過這類題目好像還頗常見^^)

譬如絕對值改成平方

則取算術平均數(打開即可證明)

[DUM 10]

被你說對

就是把零帶入

因為絕對值需找中位數......剛好是零

但如果是平方和就要找平均數了

[t19910422 10]

這不是就折線圖嗎?

畫圖就可以解決了 不過有點麻煩

l x+3 l + l x-2 l + l x+1 l + l x l + l x-4 l

先排列一下= =

l x+3 l + l x+1 l + l x l + l x-2 l + l x-4 l

從小到大

知道有-3 -1 0 2 4

5個點

就把小於-3

介於-3~-1之間

介於-1~ 0之間

介於 0~ 2之間

介於 2~ 4之間

大於 4

就可以把圖畫出來了

不然就把折點 5個點帶進去最快= =

就是-3 -1 0 2 4 帶進去最快了

如果絕對值有平常

數值和數值之間不就變曲線了0.0

再算一下中點就好了吧

大概0.0 沒算過有平方的