【行列式與矩陣】拿球的問題

[peach12345 10]

設A箱有兩白球 B一黑，甲乙兩人輪流取球，每次先由甲自A箱內任取一球，放入B箱內，

再由乙自B箱內任取一球，放入A箱內，這樣稱為一局，在交換三局後，2白球在A箱內的機率為?多次交換後2白球在A箱的機率為?

A:11/32 ， 1/3

怎麼列感覺都怪怪= =

[曾阿牛 10]

從黑球的位置來下手　比較容易處理　因為黑球只有一個

注意到以下這兩件事實 (請您自己去驗證　在下不解釋了)

1. 交換前　若黑球在A箱　則交換後　黑球在B箱的機率是 1/4

2. 交換前　若黑球在B箱　則交換後　黑球在B箱的機率是 1/2

兩白球在A箱　即便表示黑球在B箱　

題目問的是兩白球在A箱的機率　等於是問黑球在B箱的機率

起初　黑球在B箱　所以交換一次後　黑球在B箱的機率是 1/2

交換兩次後　黑球在B箱的機率是 1/2 * 1/4 ＋ 1/2 * 1/2 ＝ 3/8

交換三次後　黑球在B箱的機率是 ( 1 － 3/8 ) * 1/4 ＋ 3/8 * 1/2 ＝ 5/32 ＋ 3/16 ＝ 11/32

假設多次交換後　兩白球在A箱 ( 即 黑球在B箱 ) 的機率是 p

那麼　就算此時再交換一次　兩白球在A箱 ( 即 黑球在B箱 ) 的機率也還是 p　這是因為同樣都是多次交換　再多交換一次　不改變其機率

則可列出如右的式子　( 1 － p ) * 1/4 ＋ p * 1/2 ＝ p

接下來　只要解一元一次方程式　得 p ＝ 1/3