【微積分】極座標積分

[a1990314 10]

請問

曲線用及座標表示(r=f(α)要求曲線長有個公式

L=積分﹝ r^2+ (dr/dα)^2 ﹞^1/2 dα

可是為啥不能用L=積分 f(α) dα 去解 (弧長=αr)

[howt 10]

這跟在x-y座標系中 (dL)^2 =(dx)^2+(dy)^2 的道理是一樣的

只是在α方向的長度變成rdα、r方向變成dr而以(α與r方向垂直)

[a1990314 10]

那為啥球面積時就可以用1/2 r^2 α 積分去算?

[筱釵 10]

請利用新的分類標籤

謝謝你的合作

[Vincent stay 10]

感覺不太習慣，看 Theta 看習慣了

[Xiang 10]

感覺不太習慣，看 Theta 看習慣了

這應該不算 15 字吧...

而且一點意義都沒有, 很難懂發這種文的心態

話說我就回一下吧

圓之所以用, 是因為他的 r 是 constant 阿

你把它帶進去你所謂的公式(?), 出來就一樣了...

畫個圖就看的出來了吧

dL 也要把 dr 考慮進去阿!...

話說這應該微積分課本會有?

我是沒有正常的微積分課本啦...

不過很難想像如果不教這個的話, 微積分還有什麼好上的= =?

[a1990314 10]

不是說圓 我是說求曲線在某個角度範圍的面積時就能用積分1/2 r^2 dα去求

可是為啥要求一曲線長在某個角度範圍的長度時就不可以用積分rdα去求

而要用積分﹝ r^2+(dr/dα)^2 ﹞^1/2

其中r =f(α)

[howt 10]

不是說圓 我是說求曲線在某個角度範圍的面積時就能用積分1/2 r^2 dα去求

可是為啥要求一曲線長在某個角度範圍的長度時就不可以用積分rdα去求

而要用積分﹝ r^2+(dr/dα)^2 ﹞^1/2

其中r =f(α)

抱歉不能畫圖，但是同樣的，這跟為何y=f(x)下的面積是用 ydx去積分是一樣的道理

面積可以用兩個不同的黎曼和去夾擠、然後對兩個黎曼和取極限

但是長度如果只考慮 rdα，用rdα作出的兩個黎曼和會永遠小於夾在中間的線段長