【問題】積分求面積體積的很怪問題

[a1990314 10]

用積分求旋轉弧長的曲面"面積"時厚度是用dL=(1+f '(X)^2)^1/2

可是為啥用圓盤法求旋轉"體積"時厚度是用dx不用dL

[Vincent stay 10]

.

此內容已被編輯, January 31, 2010 ,由 Vincent stay

[a1990314 10]

WHY? 照理說取dL不是更準嗎?

[Xiang 10]

不管是dl dr dx dy dz

基本上都是指differential length(應該沒拼錯?)

至於他要做什麼樣的變換自然是看你怎麼用

基本上積分絕對沒有什麼準不準的，除非是在估計

積分的原理本身就是把物理切成無限小然後做和

在無限小的尺度下當然還是有他的運算規則

而我們為了運算方便自然會把它做某種程度的變換

話說積分的寫法以及積法真的是有很多種

因為我看不懂你所寫的，所以沒辦法解釋些什麼

不過通常在沒有註明的情況下，不管是d什麼，他代表的意義都一樣

也就是他是在一維上做積分

(特別寫成dA dS dV之類的當然是特別，本身也有他的定義)

以最常見的直角座標與極座標來說好了

dx, dy 或 dl(圓的弧長) 代表的都是differential length

但是他卻是沿著不同方向作所謂的積分

自然也不是可以隨便寫等號的

我想這都是為了因應不同的被積分函數所做的調整

但是他在本質上並沒有什麼不同

就舉個簡單的例子吧

當你的函數是y=f(x)，你計算面積的方法自然是ydx

反之x=f(y)，即是x dy

當然，如果是r=f(theta)，那就是rdl=r*rd(theta)

以上均不考慮積分的範圍

所以你就自己檢查你所問的問題吧

理論上隨便寫都可以，只要記號不要搞混，變換不要亂換

積同樣的東西絕對不會跑出兩種結果

也就是沒有準不準的問題，只有積分方法的不同

[a1990314 10]

我說明清楚一點好了

我們要求曲線y=f(x)繞X軸選轉的"面積" ]

公式是 面積=2Pi 積分f(x) dL

又dL就是由曲線長公式L= 積分﹝ 1+(f ' (x))^2 ﹞^1/2 dx

所以把dL帶入 得到面積= 2Pi 積分 f(x) ﹝ 1+(f ' (x))^2 ﹞^1/2 dx

我們要求曲線y=f(x)繞X軸旋轉的"體積"

公式是 體積=Pi 積分 (f(x))^2 dx

這邊的dx代表厚度

我的問題是 為啥旋轉體積的厚度不用﹝ 1+(f ' (x))^2 ﹞^1/2 dx

[Xiang 10]

那基本上就用球做例子吧

也就是對半圓做旋轉

我想函數是多少就不是很重要了，直接進入正題

如圖所示，那就是 dL 和 dx 代表的長度

把它切割下來，我們會有：

基本上那個 dL應該不是直線拉，不過這並不會影響

因為他在無限小的尺度下本身就可以看成一條直線

再來就是重點了，我們先在要算 1) 外圍的面積 2) 內部的體積

在做外圍的面積時，我們已知在無限小的情況下

我們把外面那圈剪開(想像它只有外面的一個面)

它會是一個平行四邊形

(如果你垂直的剪的話，它就會是長方形!!)

我想這很好理解，不懂的話，好像高微會證吧?...

總之，那個平行四邊形(長方形)的高就會是兩個邊的垂直距離

不難看出，它就是 dL ，而寬自然就是 2pi f(x)

接著換體積了，同樣的

在無限小的情形下，他會是一個圓柱

不難看出，這個圓柱的高是上下兩面的垂直距離，也就是 dx

至於底面積自然就是 pi f(x)^2

話說這是一個很一般的情況，即使不是對圓做這件事

在做旋轉體的時候，他所切割出來的會全部都是圓

總而言之大概就是這樣，關鍵就在於它要取的是垂直距離(以幾何來說應該很好理解)

邊和邊之間的垂直距離與面和面之間的垂直距離當然會有所不同。

[a1990314 10]

GOOD!! 謝啦 這個很多教授都不會= =

[Vincent stay 10]

.

此內容已被編輯, January 31, 2010 ,由 Vincent stay

[a1990314 10]

你可以問問妳們教授看看

[Vincent stay 10]

.

此內容已被編輯, January 31, 2010 ,由 Vincent stay