【問題】交錯級數審斂

[aa011854 10]

交錯級數的斂散行為

用Leibniz法判定

若n→∞, lim An ≠ 0 ，則由Divergent Test可知ΣAn發散

但是

如果An只是沒有遞減，但是極限還是趨近於0的話呢?

[~雨豆阿底．一人房~ 10]

交錯級數的斂散行為

要用Leibniz法判定

若n→∞, lim An ≠ 0 ，則由Divergent Test可知ΣAn發散

但是

如果An只是沒有遞減，但是極限還是趨近於0的話呢?

Calculus寫說：

交錯級數收斂條件

1. 各項取絕對值之後的數列要遞減

2. 此數列之無限項趨近於0

沒有遞減 ≡ 遞增或不變

這樣的數列極限值會趨近於0嗎?

可不可以請你舉個例子呢?

[Xiang 10]

沒有遞減 ≡ 遞增或不變

非常數數列並不是只有遞增遞減兩種阿

痾，例子應該是很好找啦

隨便亂定義就好了

a[2n] = (1/2)^n

a[2n+1] = 0

n = 0, 1, 2, ...

嗯，這樣好像很隨便

反正極限為0

不過總而言之，他不是遞減，但是收斂

當然，是不是所有非遞減都收斂呢...

我是覺得感覺似乎是對的，但是可能會有例外啦

[aa011854 10]

只要是震盪數列所形成的級數，基本上都有可能不遞減但趨近於0吧?

ex.Σ[(-1)^n+2]/n

數列極限趨近於0，但是級數發散掉了

(話說3樓的那種條件數列，應該不會出現在初等微積分裡面吧@@，而且好像不算交錯級數?)

[~雨豆阿底．一人房~ 10]

非常數數列並不是只有遞增遞減兩種阿

痾，例子應該是很好找啦

隨便亂定義就好了

a[2n] = (1/2)^n

a[2n+1] = 0

n = 0, 1, 2, ...

嗯，這樣好像很隨便

反正極限為0

不過總而言之，他不是遞減，但是收斂

當然，是不是所有非遞減都收斂呢...

我是覺得感覺似乎是對的，但是可能會有例外啦

只要是震盪數列所形成的級數，基本上都有可能不遞減但趨近於0吧?

ex.Σ[(-1)^n+2]/n

數列極限趨近於0，但是級數發散掉了

(話說3樓的那種條件數列，應該不會出現在初等微積分裡面吧@@，而且好像不算交錯級數?)

喔對喔我那個分法，

是單調型函數ONLY。囧。

不過你列出的是條件數列吧，

交錯數列(Alternating Series)定義：

An Alternating Series is a series whose terms are alternating positive and negetive.

引用自Calcilus , by James Stewart.

四樓的交錯調和級數應該是收斂的吧？

他滿足了

Alternating Series Test

1. 各項取絕對值之後的數列要遞減

2. 此數列之無限項趨近於0

不是嗎???

我記得發散的是正數的調和級數。

還請大家給我一些指正。

[Xiang 10]

只要是震盪數列所形成的級數，基本上都有可能不遞減但趨近於0吧?

ex.Σ[(-1)^n+2]/n

數列極限趨近於0，但是級數發散掉了

(話說3樓的那種條件數列，應該不會出現在初等微積分裡面吧@@，而且好像不算交錯級數?)

通常我們說交錯級數是...

是定義一個數列a[n]的交錯級數是Σ(-1)^n a[n]

而a[n]>0，當然直接寫成|a[n]|似乎比較快...

喔對喔我那個分法，

是單調型函數ONLY。囧。

不過你列出的是條件數列吧，

交錯數列(Alternating Series)定義：

An Alternating Series is a series whose terms are alternating positive and negetive.

引用自Calcilus , by James Stewart.

痾，你是說0不算正負嗎...

哎，其實改成

a[2n] = (1/2)^n

a[2n+1] = (1/3)^n

就好 (交錯級數為Σ(-1)^n a[n])

至於什麼條件數列的...

在微積分裡應該不會在意這種小問題吧...

[aa011854 10]

四樓的交錯調和級數應該是收斂的吧？

因為那條式子不太算是正規的交錯級數 (Σ(-1)^n*An的型態)

所以應該也沒辦法直接加絕對值取正項

(而且，就算每項算出來之後取正項，也不是遞減的，而是上下震盪，一大一小)

-----------------

Σ[(-1)^n+2]/n = Σ(-1)^n/n + Σ2/n

Σ(-1)^n/n 收斂(by Leibniz法)

但是Σ2/n發散(by p-series)

所以整個級數發散

[aa011854 10]

至於什麼條件數列的...

在微積分裡應該不會在意這種小問題吧...

最主要是因為

我看到的初等微積分習題裡面

都沒有討論到這種條件數列的

所以就先擱一邊吧

懶得去討論了xd

[~雨豆阿底．一人房~ 10]

因為那條式子不太算是正規的交錯級數 (Σ(-1)^n*An的型態)

所以應該也沒辦法直接加絕對值取正項

(而且，就算每項算出來之後取正項，也不是遞減的，而是上下震盪，一大一小)

-----------------

Σ[(-1)^n+2]/n = Σ(-1)^n/n + Σ2/n

Σ(-1)^n/n 收斂(by Leibniz法)

但是Σ2/n發散(by p-series)

所以整個級數發散

喔喔

原來是 Σ(-1)^n/n + Σ2/n 我還以為那個+2在次方項= =

好，這題我輸了ＸＤ

[aa011854 10]

突然覺得自己舉的例子好像不太恰當@@

(原題目：2/1-1/1+2/2-1/2+2/3-1/3+2/4-1/4...，得改成Σ[(-1)^n/n+2/n]才算交錯級數的樣子)

話說

有Σ(-1)^n*An這種形式的級數

An非遞減但是極限趨近於0的嗎???

(暫時先不要討論一些奇怪的級數，只討論這種就好了xd)

[Cauchy 10]

突然覺得自己舉的例子好像不太恰當@@

(原題目：2/1-1/1+2/2-1/2+2/3-1/3+2/4-1/4...，得改成Σ[(-1)^n/n+2/n]才算交錯級數的樣子)

話說

有Σ(-1)^n*An這種形式的級數

An非遞減但是極限趨近於0的嗎???

(暫時先不要討論一些奇怪的級數，只討論這種就好了xd)

你的問題很奇怪？問題到底是

1.級數Σ(-1)^n*An 且"{An}不是遞減"且"An→0(n→infinite) " 而級數的歛散性

2.級數Σ(-1)^n*An 且"{An}不是遞減"而級數會收斂到"0"

還是.....

首先定理當初的條件就講明了An>=0，目的是為了確保級數中的各項是正負交替下去。這條件很重要，而且An遞減這個也是證明中的假設不是嗎？因為在證明"萊布尼茲審歛法"時會用到這個基本假設。進而利用"定理：有界的單調數列必定收斂"來證明這個審歛法的正確性。如果你的問題建立在Libnize審歛法底下會很怪，而且你說"An非遞減"，那An還會有很多種行為阿！ 第二，你說有沒有，當然隨便造都有，問題是是否會收斂。所以你可以把你的問題說明白一點嗎。