【數學】奧林匹克數學題

[mythman 11]

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１.

有5555 名小孩，他們編號為1 至5555，並順序圍圈而坐。每人手上均有一個整

數：編號為1 的小孩手中的整數為1，編號為12 的小孩手中的整數為21，編號為

123 的小孩手中的整數為321，編號為1234 的小孩手中的整數為4321。已知任意

連續2005 位小孩手上的整數之和均為2005。問編號為5555 的小孩手中的整數是

甚麼？

２.

某校有1000 名學生，分別編號為1 至1000。當中任何500 名學生中，若有一人的

編號整除另一人的編號，則這500 名學生稱為「好群組」，否則稱為「壞群

組」。例如：編號1 至500 的學生組成一個「好群組」，因為編號13 和26 的學

生均在這群組中，而且13 整除26。若某名學生不屬於任何「壞群組」，則稱為

「好學生」。在所有「好學生」中，求編號最大的一個。

３.

一隻螞蟻沿著一個邊長1 單位的正方體的邊爬行。牠從其中一個頂點出發，每分

鐘均會從一個頂點走到另一個相鄰的頂點。走了7 分鐘後，螞蟻距離起點 3 單

位。該螞蟻所走的路線有多少個不同的可能？

[stojakovic206 10]

第一題答案是-4663

因為你觀察a_1+a_2+...........+a_2005= a_2+a_3+........+a_2006

>>>a_1=a_2006

很明顯可以推廣出a_n= a_(n+2005)

此數列會出現同樣數的循環週期的某個倍數=2005

又他們是5555個圍成一圈

所以如a_1=a_2006=a_4011=a_461(數到5556即變成第一個)

所以又能推出 此數列會出現同樣數的循環週期的某個倍數是460

那麼真正的週期的某個倍數=(460,2005)=5

但又已知此數列有四種以上不同的值

所以週期不是1而是5

故最後能歸納出

a_(1+5n)=1

a_(2+5n)=21

a_(3+5n)=321

a_(4+5n)=4321

a_(5+5n)=-4663

0≦n≦1110,n belong to N