【數學】高二橢圓

[豬皮^m^ 10]

O為橢圓2x^2+3y^2=6之中心

且P.Q為其圖形上兩點

若直線PQ垂直X軸

且三角形OPQ為正三角形

則此三角形的周長?

　　　　　　　　　　　　　　　Ａ：2根號6

我的解法是OPcos30=1

OP=(2根號6)/3

三角形周長=3OP=2根號6

我想問的是 ...

為何PQ的中點會剛好是焦點??

還是這個解法有問題剛好湊出來答案而已?

[忘卻的流星 10]

總覺得您解的有點怪怪的

OPcos30=1

解出來的OP應該是 (2根號3)/3 才對

我想是您剛好有理化錯了吧

如果OP中點會在焦點上

那麼2b^2/a應該也會是三角形邊長才對

但是算出來的結果卻是4/(根號3)

不過我倒是想問問看 為何您會這樣解呢?有什麼想法?

可以說來聽聽看~說不定還會有什麼新發現

我想這題可以用參數式去解

另

x=(根號3)cosθ

y=(根號2)sinθ

P((根號3)cosθ,(根號2)sinθ)

Q((根號3)cosθ,(-根號2)sinθ)

PQ=(根號2)sinθ-(-(根號2)sinθ)=2((根號2)sinθ)

因為OPQ為正三角形

所以OP^2=PQ^2

3(cosθ)^2+2(sinθ)^2=8(sinθ)^2

3(1-sinθ^2)+2(sinθ)^2=8(sinθ)^2

9(sinθ)^2=3

sinθ=(根號3)/3

cosθ=(根號6)/3

代回 2((根號2)sinθ) 得邊長為(2根號6)/3

周長為(2根號6)

我總覺得還有更好的方法

但是目前還沒想到........

[Xiang 10]

我也很好奇那個等於1是哪來的

不過這題應該不難

設OP=a，P點座標則為(sqrt(3)a/2,a/2)

代入橢圓方程式

a=2sqrt(6)/3 後面就一樣了...

至於焦點...剛好是吧

[豬皮^m^ 10]

總覺得您解的有點怪怪的

OPcos30=1

解出來的OP應該是 (2根號3)/3 才對

我想是您剛好有理化錯了吧

如果OP中點會在焦點上

那麼2b^2/a應該也會是三角形邊長才對

但是算出來的結果卻是4/(根號3)

不過我倒是想問問看 為何您會這樣解呢?有什麼想法?

可以說來聽聽看~說不定還會有什麼新發現

我想這題可以用參數式去解

另

x=(根號3)cosθ

y=(根號2)sinθ

P((根號3)cosθ,(根號2)sinθ)

Q((根號3)cosθ,(-根號2)sinθ)

PQ=(根號2)sinθ-(-(根號2)sinθ)=2((根號2)sinθ)

因為OPQ為正三角形

所以OP^2=PQ^2

3(cosθ)^2+2(sinθ)^2=8(sinθ)^2

3(1-sinθ^2)+2(sinθ)^2=8(sinθ)^2

9(sinθ)^2=3

sinθ=(根號3)/3

cosθ=(根號6)/3

代回 2((根號2)sinθ) 得邊長為(2根號6)/3

周長為(2根號6)

我總覺得還有更好的方法

但是目前還沒想到........

噢 ...

好像是我有理化錯了 = = 川 ...

一開始會這樣解想說有沒有什麼性質剛好正三角形的一邊會通過焦點 *.* ...

這樣一來OPcos30就會剛好=焦距

後來我有想到用你那個解法了@@QQ~...

所以整個來說好像是我自己搞錯誤會一場了 ~"~ ...

抱歉= ='

[QQ1019 10]

←不太會用參數　　不過想到另一個解法

三角形一邊與x軸夾30度 (斜率為1/根號3)

把y=(1/根號3)x　　代入2x^2+3y^2=6

求出與橢圓在第一象限的交點P為(根號2，根號2/3)

用兩點間距離公式求出線段OP 再乘3

不過是剛好數字漂亮

應該還有更好的作法:p