【分享】兩整數平方和

[夢境的行旅 10]

維基百科 「費馬二平方和定理」的證明第一步中出現了這樣的引理：

若兩個數都可以寫成兩整數平方和，則它們的乘積也可以寫成兩整數平方和。

根據原文，費馬二平方和定理指的是「奇質數可表為兩整數平方和 的充要條件是被四除餘一」

而證明是由歐拉給出。

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關於上面那個斬釘截鐵的引理我疑惑了很久，想說原作者是不是該在哪裡寫個詳細的證明？

反證法、無窮遞降法、窮舉法......等等都該給個HINT才對啊

[夢境的行旅 10]

結果經過一夜挑燈夜戰之後

沒有解答

再經過一夜焚膏油以繼晷

沒有解答

→我已經打算來深藍問人這一題了

不過，

我想在問人之前再去看一次維基百科，也許我漏掉了麼說明所以證不出來。

然後，

我就大囧了：(底下一行隱藏字，想試著自己證明的人不要看)

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(a^2 + b^2)(p^2 + q^2) = (aq + bp)^2 + (ap - bq)^2 = (ap + bq)^2 + (aq - bp)^2

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因此，不只原本的敘述是正確的，甚至分解成兩平方和的方法至少有兩種(HINT)。

[Vincent stay 10]

我想在問人之前再去看一次維基百科，也許我漏掉了麼說明所以證不出來。

或許你根本沒有漏掉什麼，是對方沒有提供完整說明，這就是維基百科的爭議處之一。維基百科任何人都可以上去編輯，編輯的人是什麼程度、是否學有專精，完全不能確定；編輯好的資料發佈也不用經過任何審核，文章品質有待嚴密檢驗。裡面的資料看看就好，維基百科不該是你求知的主要對象。對此種學術專業性高的資料，建議你去問系上的老師或研究生，跟他們要幾個公認品質優良的學術期刊網站網址，裡面應該可以找到證明，不過我想應該是全英文的，要非常有耐心找。或者當你鍵入關鍵字搜尋相關期刊時，請特別注意標有＂review＂字樣的文獻，那是回顧性論文［Review paper］，回顧性論文多是在這領域學有專精的學者，將此領域有代表性的文獻蒐集成一本，非常具有參考性；尤其是在回顧性論文後面的參考文獻，在此線索上做源頭搜索，找到完整證明過程的機會非常大。從比較正規的管道找這種學術資料，往往比較容易找到，可以節省很多不必要的浪費時間。不過還是有從網站上找不到任何資料的機會，尤其是早期的文獻就常有這種情況，這時就必須去找實體紙本的文獻資料，好像是去中央圖書館可以找這種的資料；在找文獻過程中往往可以得到額外的有用資訊，反正自己動手找資料的好處多多啦！祝你好運！

[keith_291 10]

那條是 丟番圖恆等式 的n=2 情況

上網搜尋丟番圖恆等式

你會知道更多相關的東西

[chpohoa1 10]

參考一下

http://math.ntnu.edu.tw/~li/ent-html/node49.html

[夢境的行旅 10]

上面提到的網站是絕佳的數論入門。

數論主頁的連結是http://math.ntnu.edu.tw/~li/ent-html/ent-html.html

解釋的很清楚，而且更好的是從初學者的角度詳盡之，太感激李教授這樣的用心了。

[夢境的行旅 10]

原來，答案隱藏在共軛複數的運算規則中。

數學處處都是有趣的算式，有趣的算式就有有趣的使用。例如說我可以利用這個公式假裝我會心算XD

請A同學寫下兩個二平方數和的乘積 (121+36)*(49+25)，然後請他把11618分解成兩個平方數的和

趁大部分不知箇中奧祕的人都還在把原式乘開時，你就可以上前寫出

(121+36)*(49+25)= 107^2 + 13^2

然後趁所有人都還在驚嘆時解釋道，其實這個數字還有另外一種分解方法

11618 = 97^2 + 47^2

「只是我剛剛不小心漏掉了」 /「 只是我想先算比較簡單的」

你帥氣的離開，留下一堆驚歎不已的人質問A同學是不是和你套好招了。

熟悉Lemma1到Lemma3 對於一般的計算似乎都有小小的幫助，幫助我們玩轉數字？這讓我想起哈代和拉瑪努金的那個故事，拉瑪努金是否也是由洞察力加上某個他從前發現熟的不得了的式子表演了數學特技呢？