【問題】自由度與完整約束

[k0185123 11]

又來到請教各位高手的時間拉~

我原本的問題是：氧分子的旋轉自由度 為什麼是 2 呢?

我就去查了資料....得到以下自己的想法

===============================

照理來說應該要是 3

但是因為"貫穿兩原子的軸"與另外兩軸是有相關的，所以被約束住了

也就是說這個軸不獨立 因此就剩下兩個自由度了

===============================

現在的問題是

我的想法正確嗎?

如果正確

能不能幫我再完整說明一下我所說的【因為"貫穿兩原子的軸"與另外兩軸是有相關的，所以被約束住了】這句話呢？

因為我說的"被約束住"，自己也不知到底是怎回事，大概有"fu"，但是不知道怎樣去準確的說明它....

如果你有推薦的書，可以解釋我的問題，那是最好的了，我願意自己去查查^^

謝謝^^

[Auron 10]

不是應該要放在化學版嗎@@

[k0185123 11]

不是應該要放在化學版嗎@@

為什麼要放在化學板?

只因為我提到"氧分子"嗎??

看來你看得懂我在問甚麼??

[Auron 10]

為什麼要放在化學板?

只因為我提到"氧分子"嗎??

看來你看得懂我在問甚麼??

的確是因為看到氧分子

原來這是有關物理的問題阿

[k0185123 11]

的確是因為看到氧分子

原來這是有關物理的問題阿

.....其實..我覺得當沒搞懂發問者的問題時 沒有回文的必要.........

而且很明顯的 你沒看懂我在問甚麼 你就回文.....

你這樣讓我想到我上一篇問題裡面的"宜中天才"...~"~

麻煩真的有能力幫忙我的人 再回文吧^^" 我PO文不是要聊天 我是要問問題^^"

[caseypie 10]

你的描述很不清楚......

如果你自己都無法準確說明,別人又怎麼可能知道你在講什麼而幫你說明?XD

雙原子分子的最大自由度是七個而不是六個

多了的那一個是兩個分子間的鍵結位能,想成彈簧就可以理解了

但是在低溫時有些自由度不會被激發

如果用質心觀點來看這個分子,這七個自由度分別是:

質心移動:3個

兩分子繞質心轉動:2個

兩分子沿軸接近/遠離質心:1個

兩分子沿軸的彈力位能:1個

後兩個在低溫時不會被激發

所以看到的就只有前面的五個

至於繞連貫軸轉動....你覺得原子自轉的轉動動能有多少,能跟分子的轉動相比嗎?

更何況"原子自轉"的情況只存在於古典模型,量子力學裡根本不會看到這種敘述

[k0185123 11]

你的描述很不清楚......

如果你自己都無法準確說明,別人又怎麼可能知道你在講什麼而幫你說明?XD

雙原子分子的最大自由度是七個而不是六個

多了的那一個是兩個分子間的鍵結位能,想成彈簧就可以理解了

但是在低溫時有些自由度不會被激發

如果用質心觀點來看這個分子,這七個自由度分別是:

質心移動:3個

兩分子繞質心轉動:2個

兩分子沿軸接近/遠離質心:1個

兩分子沿軸的彈力位能:1個

後兩個在低溫時不會被激發

所以看到的就只有前面的五個

至於繞連貫軸轉動....你覺得原子自轉的轉動動能有多少,能跟分子的轉動相比嗎?

更何況"原子自轉"的情況只存在於古典模型,量子力學裡根本不會看到這種敘述

我就是很不了解這些東西才來問的阿

完全沒學過 只有網路讓我查一些資料而已 而我的想法也不知對不對

也就是說 以我在這問題上的程度 還沒到達可以準確說明的程度 這樣講不知你懂不懂?

然後 你說的東西 我有在網路上看過 但我不是很懂

所以你講的我也不是很懂 何謂自由度? 自由度被激發?

這些我都沒概念= =

恩 所以現在我覺得 不管你接下來要回答甚麼關於這方面的知識 如果我沒有自己去

看書 我想應該也不會太懂 所以就這樣吧 不用繼續回答了 謝謝

[billy0131 10]

老實說， 我也不是很懂自由度。

不過最近看holiday裡面有稍微解釋。

在移動方面因為有3個互相獨立的方向，所以有3個自由度

轉動的話，原本也是可以繞3個互相垂直的軸旋轉而有3個自由度

不過那個由於質點無法繞"貫穿兩原子的軸"旋轉，所以會少一個旋轉的自由度。

這裡說的質點的概念應該就接近於數學的點，想想看，點能繞本身為直線上一點的直線旋轉嗎?少了一個的自由度就是因為這個。

by普物學得不太好大一新生

[yutsao 10]

有一個不錯的想法提供：

因O2為linear，以鍵結方向為轉軸旋轉，看起來是沒有變的(註一)，因而沒貢獻自由度。

事實上，所有直線形分子都是如此。

例如O3，也具有2個rotational freedom

註一：亦即並不會造成核的轉動

[k0185123 11]

有一個不錯的想法提供：

因O2為linear，以鍵結方向為轉軸旋轉，看起來是沒有變的(註一)，因而沒貢獻自由度。

事實上，所有直線形分子都是如此。

例如O3，也具有2個rotational freedom

註一：亦即並不會造成核的轉動

我覺得你說的不是真正的原因呢

據我所知這與我說的"約束"有關

就像是某個力學能守恆的系統一樣 若以某平面為零位面 則其動能必有極值存在 這就是"被約束了"

而自由度我覺得也要有個"東西"去約束他 而不是"單純的看起來"

若用看的可解釋 那麼 假設通過兩原子質心的軸為Z軸

那我會想說 X軸的轉動與Y軸的轉動看起來一樣呀 那為何不取"一個自由度"就好?

恩....錯了就請幫忙糾正 謝

[九天驚虹 10]

照理來說應該要是 3

但是因為"貫穿兩原子的軸"與另外兩軸是有相關的，所以被約束住了

也就是說這個軸不獨立 因此就剩下兩個自由度了

===============================

現在的問題是

我的想法正確嗎?

如果正確

能不能幫我再完整說明一下我所說的【因為"貫穿兩原子的軸"與另外兩軸是有相關的，所以被約束住了】這句話呢？

因為我說的"被約束住"，自己也不知到底是怎回事，大概有"fu"，但是不知道怎樣去準確的說明它....

如果你有推薦的書，可以解釋我的問題，那是最好的了，我願意自己去查查^^

能夠清楚表達也是一件相當重要的能力

其實 當不清楚問題是什麼的時候 那其實代表根本連問題還不懂 或是不曉得自己要問什麼

其實關於你的敘述 從物理上的角度來看 是沒有人可以看得懂的

因為加入了太多 讓人無法理解的 描述

譬如

(1)被約束是什麼意思

(2)軸不獨立 又是什麼意思

若要清楚的表達 必須要使用物理學家有共識的一些詞彙才是

我想這些地方都是可以注意的 因為這跟懂不懂無關

這是牽涉能不能表達自己的想法讓其他人知道的能力

其實你的問題 只是回歸到最基本的定義就可以解決了

只要你弄清出什麼是自由度 那這道問題其實相當容易

關於自由度的題材

往古典力學的書去找就可以了

這裡頭牽涉到廣義座標的概念 可能會不好瞭解

簡單地說明一下

剛體一般而言有六個自由度

(但其實不一定是六個 有些情況是五個 比如你探討的CASE就是

為什麼呢 因為這時候系統的質量分佈在一條線上 因此會少一個自由度)

所謂自由度

(這邊只是簡單的說明 完整的定義與內容 我想古典力學書上都會有)是

假設一系統由n個質點組成

那麼 原則上 要描述這個系統的位置 就需要3n個座標

當質點間的位置有關係時 用數學描述就是所謂的約束方程式

比如我這系統 質點1與質點2的距離根本就保持一定 那麼實際上不需要用到3n個座標

當今天有m個約束方程式存在時

則我所需要的座標 就只需要 s = 3n - m

而這個數目字s呢 就定義成自由度

我舉個例子

一個粒子有三個自由度

若已知這粒子都停留在碗上(球面上) 那麼粒子的自由度是2 等等

若是剛體呢

根據剛體的定義 我們便能推論剛體會有六個自由度

(當然上述這剛體呢 必須要是3D分布啦)

當然口語化

常看到這樣的敘述 三個移動自由度 三個轉動自由度 (這敘述在普物容易見到)

不過要是剛體的質量分布 是如你所述的情形O2

那就只剩下三個移動的自由度 兩個轉動的自由數

事實上 當你對轉動夠熟悉 你會發現

當 剛體的轉動慣量張量 (inertia tensor) 你把這張量對角化之後

若 其中兩個特徵值相同 另外一個為零 那麼這樣的系統稱為 rotor 而O2正是

[九天驚虹 10]

我覺得你說的不是真正的原因呢

據我所知這與我說的"約束"有關

就像是某個力學能守恆的系統一樣 若以某平面為零位面 則其動能必有極值存在 這就是"被約束了"

而自由度我覺得也要有個"東西"去約束他 而不是"單純的看起來"

若用看的可解釋 那麼 假設通過兩原子質心的軸為Z軸

那我會想說 X軸的轉動與Y軸的轉動看起來一樣呀 那為何不取"一個自由度"就好?

恩....錯了就請幫忙糾正 謝

其實在這邊 就有一個盲點存在了

如果你不曉得什麼是自由度 (自由度的定義)

那麼就不能夠去接著談論 跟自由度有關的性質

因為如果連它是什麼都還不清楚

又怎麼能期外 它具備你所想像的性質

對於一質點組 假設是n個質點

那麼若要描述系統的位置 就需要3n個變數

自由度就是指 這3n個變數中 真正互相獨立的變數的數目

接著上一篇前面的討論

以O2為例子

先將其理想化成剛體

(其實caseypie,yutsao的說法都是正確的)

那麼 要描述這系統的位置

我就需要6個座標 (因為有兩個粒子 一個粒子需要三個座標)

但是由於O2是剛體 所以兩原子之間的座標不是獨立的

經過分析(這分析不難)

會發現這O2呢 有五個自由度

這五個自由度可以怎麼看

我們取O2的質心

為了要描述這質心 需要三個座標 就是所謂移動的三個自由度

然後是O2相對於質心的位置 這時就只需要兩個數字就可以完整描述 對應到兩個轉動自由度

[yutsao 10]

而自由度我覺得也要有個"東西"去約束他 而不是"單純的看起來"

我說的「看起來」，在後面的註解有說明。

即沿著z方向當轉軸，不會造成核的轉動。

對於一質點組 假設是n個質點

那麼若要描述系統的位置 就需要3n個變數

自由度就是指 這3n個變數中 真正互相獨立的變數的數目

樓上正解。

這五個自由度可以怎麼看

我們取O2的質心

為了要描述這質心 需要三個座標 就是所謂移動的三個自由度

然後是O2相對於質心的位置 這時就只需要兩個數字就可以完整描述 對應到兩個轉動自由度

所以其實我們也可以得到一個結論：

單一個N原子分子，全部的自由度是3N。

其中，有3是從Translation貢獻。

如果是linear，Rotation貢獻了2；如果是nonlinear，Rotation貢獻了3。

若是linear，Vibration貢獻了3N-5；若是nonlinear，Vibration貢獻了3N-6。(→這個的計算其實好像比較偏數學xd)

以上的證明應該不難，所以省略XD

[heinsolid 10]

可以用半古典的方式，從能階定性討論消失的轉動自由度。

波爾量子化條件：L = nh / 2π

轉動動能：K = Iω^2 / 2 = L^2 / 2I = n^2 (h/2π)^2 / (2I)

能階間隙和轉動慣量成反比，當轉動慣量非常小，則能階相當大，該自由度也就不表現。

[k0185123 11]

＠＠～謝謝樓上幾位大大阿

雖然說我還沒有完全了解　但我相信只要我在去找大大說的古典力學的書？

配合你們的解釋　我相信我就能了解大部分了

謝謝囉︿︿＂

希望大大能提供一些書＠＠？　我想知道書名　恩恩

我也可以自己找辣　只是說若你們能提供的話那是最快＆最好的了

總之　謝謝＠＠＂

[清純小百合 10]

"Modern Physics"

Berstein, Fishbane and Gasiorowicz

"Fundamentals of Modern Physics"

R. M. Eisberg

參考看看:p

[k0185123 11]

唔

謝謝樓上大大 寒假時我會去查查的!