【數學】一題多項式的問題

[浪飄月 10]

設a ,b 均為整數 且x^2-x-1整除 ax^17+bx^16+1 求a=

我的想法是先把x^2-x-1 換成x^2=x+1 不斷的代入 變成(1597a+987b)x+987a+610b+1=0

解出來是a=987

或直接縱合除法去做 解出來是987

我想要問看看有無更好的方法

[k0185123 11]

阿 回錯方法= =

[Xiang 10]

這樣或許會快一點：

ax^17+bx^16+1=x^16(ax+b)+1

x^2-x-1=0

x^4=(x+1)^2=x^2+2x+1=(x^2-x-1)+3x+2

x^8=(3x+2)^2=9x^2+12x+4=9(x^2-x-1)+21x+13

x^16=(21x+13)^2=441x^2+546x+169=987x+610

剩下就沒什麼問題了

事實上不用真的算，987=441+546，610=441+169

沒有驗算過，可能會錯啦

[筱釵 10]

如果用微分的技巧的話

會不會比較快@@

我只有稍微看一下

我不確定@@

[Xiang 10]

如果用微分的技巧的話

會不會比較快@@

我只有稍微看一下

我不確定@@

哎，先不說高一有沒有教過微積分

要「猜」起碼也要有點根據阿

我們先假設F(x)=f(x)*g(x)好了

題目要求找出一個F(x)能用f(x)整除（即f(x)=0的解代入F(x)也為0）

如果「可以」用微分解的條件自然就是：

f'(x)=0的解代入F'(x)也為0

F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

前面一樣當然沒問題，問題就出在後面那一項

要用微分解這題的充要條件為：

f'(x)=0的至少要有一解與f(x)或g'(x)相同

這題應該是不行（沒試過）

[jamtu0615 10]

看到答案長這麼醜

應該是沒有更快速的解法了

無論如何都需要龐大的計算

[andytsao14 10]

用逆推法

設ax^17+bx^16+1 = f(x)(x^2-X-1)

從左式的常數項=右式的常數項下手

再來就X項,X^2項,X^3項.......

發現f(x)的係數從常數項到高次項是:

-1,1,-2,3,-5,8,-13,21,.......

推測是費波拉契數列

X^17項=第 18 項

18-3+1=16(因除式為3項)

所以a=數列第16項=987