【數學】平面上對稱點求法研究

[onlymichelle 10]

已知 P點 ( x , y ) 跟 L : aX + bY + c = 0

求P點對稱直線的 Q點 ( A , B )

不用公式 直接求法

通常都是 找出 PQ直線 跟 中點 M 用分點公式 找出 Q點

通常公式

是用 直線參數式 來帶入

所以公式是

A = x - 2a ( ax + by +c ) / a^2 + b^2

B = y - 2b( ax + by + c ) / a^2 + b^2

在做題目上 此公式不實用 比較複雜不好背 易忘記

用原始求法 又過麻煩 需要較多時間

以下是 我發現的 算法 跟 證明

-----------------題目----------------------

已知 L : aX + bY + c = 0 , P點 ( x , y )

求 對稱點 Q

-----------------算法----------------------

設 Q點 為 ( A , B )

由 L 方程式變化 如下

X = - bY - c / a ---- 1

Y = - aX - c / b ---- 2

A = -by - c / a ---- Q點X座標 "A" 是 P點Y座標 "y" 帶入 式1

B = -ax - c / b ---- Q點Y座標 "B" 是 P點X座標 "x" 帶入 式2

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個人覺得我這個算法實用

只需將 L 方程式 轉換 帶入 就可以得到

不需要背公式 or 花時間計算中點

------------------證明----------------

已知 L : aX + bY + c = 0 , P點 ( x , y )

試證 A = -by - c / a , B = -ax - c / b

pf :

設 Q點 ( A , B )

1* 設PQ中點 M ( x + A / 2 , y + B / 2 )

2* M 在 L 上

M 代入 L a ( x + A / 2) + b ( y + B / 2 ) + c = 0 ----1

3* PQ直線斜率 為 b / a

b / a = y - B / x - A -----2

4* 解 1 . 2 連立方程式

A = -by - c / a

B = -ax - c / b

證完

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以上為 方程式的證明

不知道有沒有人 可以提出 這個方法的 幾何意義

大家討論一下 發表感想 xd

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阿~~ 看看就好ˋˇˊ

剛剛從別的論壇 看到留言

覺得漏洞還是很多XD"

[jamtu0615 10]

我會覺得這樣的東西不需要用代數來做

應該說你會想到這個方法通常是從幾何上來看

[M9331707 10]

這是錯誤的結論

不然,若(1, 0)關於直線x+2y+6=0, 其對稱點為(-9/5, -28/5), 而不是(-6,-7/2)

[Ivann 10]

我自己算的話都是用向量欸~

如果要解題應該夠用了

[我們沒有在一起 10]

我想這是因為遇到

x+y=k or x-y=k 的情況吧

係數的平方和=2剛好可以和公式上的2消掉

一般遇到這種特殊情況會直接這樣替換

其他還是會按照平常的作法

(...個人拙見)