【問題】有趣的等式與其涵義

[夢境的行旅 10]

我不知道標題怎麼定會更貼切

所謂的等式是：

arctan( sinhx )=2 * arctan( tanh(x/2) )

兩邊取tan，右邊代tan的二倍角公式可得證

不過我想找個直觀的證明，例如說幾何意義，或是所謂的眼珠證明法。

不然就算等式成立......就只是成立而已，沒有其他意義。

[夢境的行旅 10]

原來這式子的"由來"是

三角函數與雙曲函數有相同的一條半角公式

tan(X/2) = sinX / 1 + cosX

tanh(X/2) = sinhX / 1 + coshX (驗證很容易)

前者可以進一步化成：

tan(X/2) = sinX / 1 + cosX = tanX / secX + 1 = tanX / ( 1+sqrt(1 + tan^2 X))

→ X = 2 * arctan [ tanX / ( 1+sqrt(1 + tan^2 X)) ]

(設θ=tan X, X = arctan θ,可以得到很有用的公式(例如推導用來計算pi的無窮級數))

→arctan θ=2 * arctan [ θ/ (1+sqrt(1 + θ^ 2)) ]

θ代入sinhx即可

[Xiang 10]

眼珠證明法是指用看的就知道了嗎= =?

雙曲函數中的幾何意義其實很難看出來

因為他的變數並不是角度，

另外tanh就更妙了，因為它是為了對應三角函數創造出來的，幾何意義幾乎沒有

再加上反三角就更複雜啦，三角函數和雙曲函數除了長的像實在很難扯到什麼關係

所以我覺得這條式子，除了兩邊相等等外真的不太有意義耶。

是自己無聊亂寫的嗎？

[夢境的行旅 10]

代換法積分出來的答案是左式，而用Mathmatica顯示的是後者。

兩式等價表示「太好了，我沒算錯。」誰會這麼無聊去寫這個東西。

好吧，我無聊了一下。這樣的式子成雙成對出沒，類似的式子還有：

arctan( sinhx )= arcsin( tanhx )= 2 * arctan( tanh(x/2) )

arctanh( sinx )= arcsinh( tanx )= 2 * arctanh( tan(x/2) )

[夢境的行旅 10]

也許在複變的某領域有某意義吧。

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