【問題】高一的無窮收斂級數

[m12345 10]

我想問是否所有的無窮收斂級數皆為 等比級數?

那如果並非如此，又要如何判斷是否為無窮收斂級數呢?

例如：西格馬(n=1~無限大) n乘於2分之3的n次方

或 西格馬(n=1~無限大) 3的n次方分之2的n次方+3的n次方+5

感謝~

[坐看星空思人生 10]

我想問是否所有的無窮收斂級數皆為 等比級數?

那如果並非如此，又要如何判斷是否為無窮收斂級數呢?

例如：西格馬(n=1~無限大) n乘於2分之3的n次方

或 西格馬(n=1~無限大) 3的n次方分之2的n次方+3的n次方+5

感謝~

並非所有無窮收斂級數皆為等比級數

例如: 1/1 +1/2 +1/3 +1/4 +.....

你列的第一個例子 為發散 無法求出其總和

第二個例子也為發散 將通式上下同除3^n

其值會越來越接近1 無法求得總值

[m12345 10]

我了解了，謝謝~

另外可以告訴我如何知道第一個為發散嗎?

[m12345 10]

例如: 1/1 +1/2 +1/3 +1/4 +.....

這個不是收斂嗎???

[坐看星空思人生 10]

是阿

這是收斂的 可是它並非等比級數

我的意思是這樣

第一個 它的數值飄忽不定

最後會變成無限大

算不出其總和

[Xiang 10]

我了解了，謝謝~

另外可以告訴我如何知道第一個為發散嗎?

首先，數列是一定要收斂的，級數才有可能收斂

數列的看法，基本上是直接取一般項的極限到n=無限大，極限存在就收斂囉

級數存在的話，基本上要是數列收斂到0，級數才會收斂

至於原因嗎，應該還蠻直接的，不是0的話，就加不完啦

第一個 它的數值飄忽不定

最後會變成無限大

算不出其總和

這個「飄忽不定」可真難定義

有可能「飄忽不定」還是收斂吧？

只要越飄越趨近某值就可以啦～

[m12345 10]

感謝~我現在全了解了~

[m12345 10]

這個不是收斂嗎???

打錯了，我是說 1/1+1/2+1/3...這個級數不是發散嗎?

[keith_291 10]

1+1/2+1/3+1/4.......是發散級數

並不收斂

簡單說明請參考

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1205071713700

[坐看星空思人生 10]

喔喔 不好意思...

[Auron 10]

只要結果非一定值就為發散???

以上是別人跟我說的

我想求證一下

[keith_291 10]

只要結果非一定值就為發散???

以上是別人跟我說的

我想求證一下

是

收歛的定義就是隨項數增大

數列或級數會趨近於"唯一"的定值

[black40114 10]

1/1+1/2+1/3....1/n 答案不是0或1就是發散吧

[~雨豆阿底．一人房~ 10]

雖然大部分問題都有人回答了，

不過我還是想很貼心的(?)為大家準備懶人包。

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首先是收斂的定義：

收歛的定義就是隨項數增大

數列或級數會趨近於"唯一"的定值

這是簡單白話版，

嚴格定義版的delta、epson(有拼錯嗎?)那個太麻煩了。

問題1：

我想問是否所有的無窮收斂級數皆為 等比級數?

那如果並非如此，又要如何判斷是否為無窮收斂級數呢?

回答：

並非所有無窮收斂級數皆為等比級數

無窮收斂級數有很多種，

其中的一種是 |公比| 小於1的等比級數。

其他的稍微舉例一下的話，

如：

Σ1/(n^2)、

Σ1/(2^n)-1、

Σ[(-1)^(n-1)]/n (→交錯調和)

至於要怎麼判斷是否為無窮收斂級數，

在微積分裡有許多判斷法。

如：Integral Test (積分判斷法)、Comparison Test (比較判斷法)、最常用的Ratio Test(比例判斷法)等等。(以上為阿底式翻譯)

另外有關一正一負的交錯級數，

可以參考這篇http://www.student.tw/db/showthread.php?t=189704

例如：西格馬(n=1~無限大) n乘於2分之3的n次方

或 西格馬(n=1~無限大) 3的n次方分之2的n次方+3的n次方+5

西格馬(n=1~無限大) n乘於2分之3的n次方 為發散。

我用比較有數學根據的說法的話，

Σ(3/2)^n 是個公比大於一個發散等比級數，

而，Σn*[(3/2)^n] 除了第一項之外，n*[(3/2)^n]每一項都比(3/2)^n 大，

(因為多乘了一個正數)

Σ(3/2)^n都已經發散了，

Σn*[(3/2)^n] 還每一項都比它大所以是發散。

↑

[using比較測試法][口語化解釋]

以及第二例 坐看星空 的回答：

第二個例子也為發散 將通式上下同除3^n

其值會越來越接近1 無法求得總值

當n超過某個正整數N時，

各項會很趨近於1。

而Σ1是發散的，

故此級數發散。

最後是調和級數、

以及數列與級數的收斂關係。

首先，數列是一定要收斂的，級數才有可能收斂

數列的看法，基本上是直接取一般項的極限到n=無限大，極限存在就收斂囉

級數存在的話，基本上要是數列收斂到0，級數才會收斂

至於原因嗎，應該還蠻直接的，不是0的話，就加不完啦

1+1/2+1/3+1/4.......是發散級數

並不收斂

簡單說明請參考

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1205071713700

這可以用微積分中的積分檢驗法來證明他是無窮大的東西...

不過簡單來算一下...

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+...

>1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+...

=1+1/2+1/2+1/2+1/2+...

上式第二行是把1/3+1/4大於1/4+1/4...1/5+1/6+1/7+1/8大於1/8+1/8+1/8+1/8...以後以此類推...

上式第三行就把1/4+1/4=1/2...1/8+1/8+1/8+1/8=1/2...以後以此類推...

然後你應該看的出來...會有無窮多個1/2再加上1...

無窮多個1/2加在一起就會是無窮大了...

所以...他是無窮大...

整理完畢...呼...

[只想要玩的啦 10]

嚴格定義版的delta、epson(有拼錯嗎?)那個太麻煩了。

應該是epsilon

收斂發散的判定最近微積分才剛教到囧