【問題】高一數學：階差級數求和

[撒旦的微笑 10]

目前就讀高一，遇到數列的問題

就是階差級數求和法

例如

1+2+5+12+25+46+....

1+3+6+10+15+21+.....

這種題目有沒有公式呢?

或是比較有效率的解法

因為課本都沒提到這種題型

可是考卷有時會出現一題，整個有點無言

幸好項數不多可以土法煉鋼，但我還是想學完整的概念

不知有沒有學長可以教我一下

[Auron 10]

1+3+6+10+15+21+.....

1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)........(1+2+3+4+5+............+n)

基本上要先找規則

找到之後再套入你背的Sigma公式

只是不是每個規則都這麼好找的

且礙於考試有時間限制的關係

所以若是不能很快的找出規則且算出答案

那這題就等到最後再寫

[╭ ｆｉｓｈ ╯ ♂ 10]

目前就讀高一，遇到數列的問題

就是階差級數求和法

例如

1+2+5+12+25+46+....

1+3+6+10+15+21+.....

那是雙重sigma(?)

[Xiang 10]

樓樓上是沒找到第一個的規則嗎

話說他好像也不是問規則，都不看清楚就隨便回答還真有點敷衍

遇到這種題目不外乎就是找規則

找出數列的通解（即找到一個a_n）

這時就可以寫成Σ(Sigma)的形式

再用你所背的公式代入就好啦

當然一些Σ的性質要記一下就是了，詳細看課本囉

順便附上第一條的規則

1+2+5+12+25+46+...

= 1 + (1 + 1) + (1 + 1 + (1 + 2)) + (1 + 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 4)) + ...

[Auron 10]

樓樓上是沒找到第一個的規則嗎

恩阿，我沒找到規則，所以就只回第二題阿

[筱釵 10]

根據#2的說法

1+3+6+10+15+21+.....

=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)........(1+2+3+4+5+............+n)

這題是可以用雙重sigma來算

不過我不是很喜歡用這個方法算...

因為個人覺得有點麻煩@@

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我都是先算出第k項的和再取sigma(迷：這不就是雙重sigma嗎?= =)

它第k項的和為k(k+1)/2

所以這題的總和為

Σ(Σ(k))=Σk(k+1)/2

因為沒有掛變數，所以不知道你有沒有看懂@@...

[Calibare 10]

第一題:

1,2,5,12,25,46......

用Finite Difference來求a的第n項=?

會有

1 2 5 12 25 46

1 3 7 13 21

2 4 6 8

2 2 2

因為減了三次才找到公差

所以a的第n項= (a*n^3)+(b*n^2)+(c*n)+d

a1=a+b+c+d=1

a2=8a+4b+2c+d=2

a3=27a+9b+3c+d=5

a4=64a+16b+4c+d=12

然後解聯立

我是用矩陣來解(計算機方便啊)

沒有的話就......

雙手萬能吧

matrix A(4X4):

1 1 1 1

8 4 2 1

27 9 3 1

64 16 4 1

matrix B(1X1):

1

2

5

12

然後 A^ -1 * B

得出

a=1/3

b=-1

c=5/3

d=0

所以

a的第n項= (1/3*n^3)-(1*n^2)+(5/3*n)

再來就可以解了

(我不想算了......各位高人請繼續)

[Xiang 10]

太長，恕刪

其實現在高中甚至大學已經很少在教所謂的差分(difference)

說起來很簡單，其實就是將數列的前後兩項相減，造出一個新數列罷了

要使用這種方法解題，自然是要先知道一些事情：

n次多項式數列差分後為n-1次，由此可得到

「若差分n次後得到一常數數列，則原數列一般式必為一n次多項式」的結論

再來就是有一些解題技巧，例如我們可以運用「組合」C(n,k)差分後為C(n,k-1)

可以設a_n = aC(n,3) + bC(n,2) + cC(n,1) + d

（一次差分後）∆ a_n = aC(n,2) + bC(n,1) + c

（二次差分後）∆^2 a_n = aC(n,1) + b

（三次差分後）∆^3 a_n = a

如果你把C(n,k)展開後n(n-1)(n-2)...(n-k+1)/k!

這時我們可以運用第一項(a_1, ∆ a_1...)快速解開a, b, c, d

事實上，使用這種作法有一個更好的好處

就是在求和的時候，不仿給它「反差分」一次

令∆^(-1) a_n = b_n （即∆b_n = a_n）

b_n = aC(n,4) + bC(n,3) + cC(n,2) + dC(n,1) + e

或許你會發現e解不出來（不唯一），但是這並不影響

根據我們對差分的定義，b_(n+1) - b_n = a_n

這時我們就可以將求和的sum改寫：（sum[i,j] a_n表示a_i + a_(i+1) + ... + a_j)

sum[i,j] a_n = sum[i,j] {b_(n+1) - b_n}

= {b_(i+1) - b_i} + {b_(i+2) - b_(i+1)} + ... + {b_(j+1) - b_j}

= b_(j+1) - b_i

這時你就會發現解不出來的常數e被消掉了

其實這個方法與微分和積分很像，應該說差分本身就是微分的原形

寫到這好像太多了，高中題目基本上慢慢找規則就可以啦

[Calibare 10]

其實現在高中甚至大學已經很少在教所謂的差分(difference)

說起來很簡單，其實就是將數列的前後兩項相減，造出一個新數列罷了

其實這個方法與微分和積分很像，應該說差分本身就是微分的原形

寫到這好像太多了，高中題目基本上慢慢找規則就可以啦

嗯.......

這是pre-calculus教的

顧名思義 就是"預先的"微積分嗎

當然都教一些基本的(簡單的)數學

至於高中跟大學很少教我想是因為

台灣的高中不準用計算機(大學我不知道)

而最後很容易有個四元五元方程式要解

用筆慢慢算搞不好一題會花個十幾分鐘

這樣考試還考啥啊

學長好強啊

這屆中崙考上台大的好像不少(H)

我中崙讀了5個月才來美國的xd

[Xiang 10]

嗯.......

這是pre-calculus教的

顧名思義 就是"預先的"微積分嗎

當然都教一些基本的(簡單的)數學

可能是覺得這並不實用吧

應該說是沒有重要到獨立成一個部份

不過要複雜其實還是可以很複雜就是了

差分極限完就變微分啦

理論上差分的分類應該在微積分學下面沒錯

話說中崙動不動就有人跑到國外xd

[↖⊙﹏⊙＼＼小彥★↗ 10]

第一題的確用那個．．．差分？會比較好算吧

有時候找關係式如果不是很好找，我覺得用那個找會比較快耶．．．

（（基本上有學過高二物理的微積分就可以用了～