【討論】數學段考證明題４枚

[Whoopeeee! 10]

據"俊數則雄"老師說

數學會考以下四個證明題：

１三角形的［三邊中點］、［三高垂足］、［垂心與三個頂點連線的中點］九點會共圓。

２費瑪點－－任意三角形內部一點Ｐ到三頂點的距離和最小。

３任意三角形的三邊上各找一點，使此三點所構成的三角形周長最小。

４在一圓周上找一點Ｐ，使圓外兩個定點到Ｐ的距離和最小。

請各位數學強人一起幫忙～～

[￡～熊熊～♂ 10]

九點圓　　　~_~

附圖在此：

http://www.wretch.cc/album/show.php?i=JJleobear&b=3&f=1684576633&p=2

好吧

會有點長....

我就打簡短的好了 不懂的再問我 =X=

由附圖可知 中間兩個紅色的都是矩形 ((炸

可知

I1、I2、I3、J1、J2、J3共圓

再因為

角I3 h3 J3 = 90度 = 角 I3 J1 J3

所以 I3、h3、J1、J3 共圓

以此類推可推得

九點共圓!!!! ((炸

[￡～熊熊～♂ 10]

費碼點 Part 1

附圖在此 ~_~

http://www.wretch.cc/album/show.php?i=JJleobear&b=3&f=1684576634&p=3

pf：

(1)做一正三角形ACD

(2)將三角形APC逆時針旋轉60度，變成三角形AP'C

(3)因為 AP=AP' 且 角PAP' = 60度

　所以三角形PAP'為正三角形

　可推得AP = PP'

(4)所以P點到三頂點之距離為 AP + BP + CP = BP + PP' +P'D

　也就是B到D的折線長

(5)為使距離和最小應使B到D為一直線，由此可推得

　應使 角APB = 角 BPC = 角BPC =120度 時最小 此時稱P點為費馬點 ~_~

[Whoopeeee! 10]

啊～

為什麼" 中間兩個紅色的都是矩形"？

嗯～我數學不好

[邦仔 10]

聽說1 2 3 幾何明珠都有

第4題我覺得跟兩定點和P的內心有關

[12514總務 10]

九點圓　　　~_~

附圖在此：

http://www.wretch.cc/album/show.php?i=JJleobear&b=3&f=1684576633&p=2

好吧

會有點長....

我就打簡短的好了 不懂的再問我 =X=

由附圖可知 中間兩個紅色的都是矩形 ((炸

可知

I1、I2、I3、J1、J2、J3共圓

再因為

角I3 h3 J3 = 90度 = 角 I3 J1 J3

所以 I3、h3、J1、J3 共圓

以此類推可推得

九點共圓!!!! ((炸

費碼點 Part 1

附圖在此 ~_~

http://www.wretch.cc/album/show.php?i=JJleobear&b=3&f=1684576634&p=3

pf：

(1)做一正三角形ACD

(2)將三角形APC逆時針旋轉60度，變成三角形AP'C

(3)因為 AP=AP' 且 角PAP' = 60度

　所以三角形PAP'為正三角形

　可推得AP = PP'

(4)所以P點到三頂點之距離為 AP + BP + CP = BP + PP' +P'D

　也就是B到D的折線長

(5)為使距離和最小應使B到D為一直線，由此可推得

　應使 角APB = 角 BPC = 角BPC =120度 時最小 此時稱P點為費馬點 ~_~

熊果然不是人........

[Whoopeeee! 10]

英"熊"？

[12514總務 10]

在這裡偷問個國文問題:下星期有要考國文"明湖居聽書"嗎?? (隔壁班版寫的)

[Whoopeeee! 10]

老師和班長沒講

可是上次...

所以這次...

[12514總務 10]

俊數則雄 3-76 第61題

我想問一下:像61~63這種題目大家都怎麼解阿，因為我的方法有點費時，所以懇請高手提供好解法!! ^^

(ps.下午的物理考試.......我是去陪考的=.=)

[Whoopeeee! 10]

你可以先說說看你的思考方向嗎？

我想參考一下。。。

[12514總務 10]

你可以先說說看你的思考方向嗎？

我想參考一下。。。

以第62題為例:

該直線必分別與線段AB、線段BC相交於2點，可利用AB、BC的直線方程式來設2點分別為(t,-t+1)、(k,-2/3k+1)。再利用此2點到(0,0)的斜率一樣(因為同一直線)可列出第一條方程式，接著用面積可再列出第2條方程式，解聯立求解。

[Whoopeeee! 10]

我 61. 算法也差不多

因Ｌ必與 OA、AB 相交且斜率=1 因此設兩點 (a,0) (a+b,b)

再用面積關係和 (a+b,b) 代入 AB 聯立求解

可是答案好醜

我覺得我算錯了 Ｌ：y = x - 4 + (根號10)

[space20021 10]

熊熊真的好強.....

話說老師其實也說過可能考作圖喔

我來提供費瑪點的作圖吧XD

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[leo820504 10]

熊熊真的好強.....

話說老師其實也說過可能考作圖喔

我來提供費瑪點的作圖吧XD

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恩....有點小複雜

如果想用不要用頭腦的做法可以參考一下

以三邊為邊長

各向外做一正三角形

做正三角形的外接圓

而三圓之交點即為費瑪點(這是著名的拿破崙定理)

(其實做兩圓就可以了)

還有...

judi你的第四題距離和最短那題的方法好像錯了....

[Whoopeeee! 10]

俊數 P.3-74 Q.45,46

要怎麼設L1、L2才能讓人知道２線互相垂直？

[12514總務 10]

大家都好強!!! (在角落努力畫中.......)

[12514總務 10]

俊數 P.3-74 Q.45,46

要怎麼設L1、L2才能讓人知道２線互相垂直？

不太懂你在問什麼，不過證明老師上課有抄! (我抄到一半，投影片就換掉了....T_T)

[leo820504 10]

大家都好強!!! (在角落努力畫中.......)

話說我明天俊數要爆了(為了我的段考英文分數....)(炸)

[leo820504 10]

不太懂你在問什麼，不過證明老師上課有抄! (我抄到一半，投影片就換掉了....T_T)

完蛋了

我那堂缺課壓

[Whoopeeee! 10]

俊數 P.3-74 Q.45,46

要怎麼設L1、L2才能讓人知道２線互相垂直？

不太懂你在問什麼，不過證明老師上課有抄! (我抄到一半，投影片就換掉了....T_T)

我意思是說

如果設L1:ax+by+c=0

　　　L2:bx-ay+d=0

老師會不會問說你怎麼知道的？

要想：證明是要給人知道原因的

[￡～熊熊～♂ 10]

費碼點的作圖啊....

其實並不建議做圓

因為會外接圓作很麻煩啊~~

((其實只是懶惰 (炸

我的作法是

三角形ABC

(1)以BC為邊向外做一正三角形BCD 連結AD

(2)以AC為邊向外做一正三角形ACE 連結BE

(3)AD跟BE交於P點 P點即為費碼點

[12514總務 10]

完蛋了

我那堂缺課壓

沒關係，我現在來幫你補課。 (大誤)

令L1,L2的交點為(a,b)，再設(a+1,y1)在L1上、(a+1,y2)在L2上

利用畢氏定理，可列出[1^2+(y1-b)^2]+[1^2+(y2-b)^2]=(y1-y2)^2，再經過畫簡可得-1=-y1b-y2b+y1y2+b^2=(y1-b)(y2-b)=m1m2，

故L1垂直L2 → m1*m2=-1，又因為該方程式可逆推，所以m1*m2=-1 → L1垂直L2

[￡～熊熊～♂ 10]

我意思是說

如果設L1:ax+by+c=0

　　　L2:bx-ay+d=0

老師會不會問說你怎麼知道的？

要想：證明是要給人知道原因的

那就不要那樣設啊......

而且我不知道老師是怎麼證的

因為我是用相似三角形證 ((炸

[leo820504 10]

那就不要那樣設啊......

而且我不知道老師是怎麼證的

因為我是用相似三角形證 ((炸

這方法很棒阿！