【數學】面積~

[SRX 10]

在下面的圖中2個小圓彼此接觸，而大圓則又與2個小圓接觸。2個小圓的半徑分別為 r1 和 r2，而2小圓間的共同切線於大圓中的長度為 t。你的任務是算出灰色區域的面積

題目會給 r1 & r2 或 只給 t

[五月飛雪 11]

若題目只給 r1 & r2

大圓半徑 R = ri + r2

灰色面積 = ( R^2 - ri^ - r2^2 ) π

　　　　= 2 r1 r2 π

若題目只給共同切線長 t

大圓圓心與兩小圓交點距離為 大圓半徑平方減掉二分之共同切線長平方再開根號

=> √ R^2 - (t/2)^2

這又等於大圓半徑減掉最小圓的直徑 設最小圓直徑為r2

√ R^2 - (t/2)^2 = R - 2r2

兩邊平方

R^2 - (t/2)^2 = R^2 - 4Rr2 + 4r2^2

再代入 R = r1 + r2

- t^2/4 = - 4 r1 r2 - 4 r2^2 + 4r2^2

t^2 = 16 r1 r2

得到 t 跟r1 r2 的關係 即可得到

灰色面積 = (t^2 / 8 ) π