【問題】國三相似形問題

[龍a翼 10]

PH為BC的中垂線

AP=6

BP=18

三角形ABC面積為96根號2

求PH=??

我自己算一算 發現要開兩次根號

覺得有點奇怪

所以請求高手回答

感謝~

[keith_291 10]

由中垂線的性質

知道PB=PC=18

觀察三角形PBC和三角形PAC

因為等高(各以PB和PA作底)

兩者面積比=底的比=18:6=3:1

所以三角形PBC面積=96根號2x3/4=72根號2

三角形PBH面積則為一半=36根號2(因BH=HC)

令BH=a

PH=b

商高定理:a^2+b^2=324

三角形PBH面積=底乘高=36根號2=ab/2 =>ab=72根號2

a^2+2ab+b^2=(a+b)^2=324+144根號2

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2=324-144根號2

a+b=3根號(36+16根號2)=12根號2+6 <==雙重根號的化簡 不知道你學了沒

a-b 或 b-a=3根號(36-16根號2)=12根號2 - 6

接下來應可解出2組解 就不贅述了

[龍a翼 10]

超感謝您的解答的

你好厲害喔

我算出來是

６或１２根號２

兩個都符合嗎？

[keith_291 10]

應該都會符合

可想成以AB為底來看

會使三角形ABC面積為96根號2

且PC為18的點應該有2個(下圖的C和C" )

.........C.........C"

...........\......./

.............\.../

.....A____\/________B

P

所以合題目限制的三角形應該有兩種情形

算出來的答案應該有2組

答題直覺不夠強的話

可以在算出答案後一一檢查有無違反題目敘述或產生不可能存在的情形(例三角形兩邊和<第3邊)

很多幾何題解出不止一組解時都可藉由探討符合該解的圖形是否能存在來驗證

[龍a翼 10]

這是在YLL的網友解出的

但是它解出的只有一組

是因為它的三角形ABC的高設在外面的原因嗎？

[龍a翼 10]

我剛剛算了一下

希望高手幫我解答

Ｑ好像是一定要在ＡＢ外

以ＹＬＬ的網友的方法

我試著把ＡＢ上的高（ＱＣ）做在把Ｑ做在ＡＢ裡

ＰＣ一樣是１８

ＱＣ一樣是８根號２

ＰＱ一樣是１４

但是　ＰＱ如果在ＡＢ裡應要小於ＡＢ長（６）

[龍a翼 10]

如果說Ｑ一定在ＡＢ外

那應該只有６這一組解吧

因為如果

ＰＨ＝１２根號２

ＢＨ＝６

ＡＱ＝３２

ＱＣ＝８根號２

ＢＣ＝１２

會不符合畢氏定理

不知道這個理念對嗎？

如果真的只有ＰＨ＝６這一組解

用第一個解法

那要怎麼證明

ＢＨ＞ＰＨ呢？

[龍a翼 10]

我又錯了= =

如果把 Q放在P的左邊

又成立了

4^+(8根號2)^2=12^2

[龍a翼 10]

再請問～～～～～～～～～～～～～～～‵

重要重要～～～～～～～～～～～～～～

依照討論結果　另一解的解法要把高坐在ＢＰ上

看我們老師說　因為三角形是頓角三角形（A^2+B^2>C^2) 所以高一定在右邊

故只有一解

請問如果是真的的話

那

要怎麼解釋　Ｘ＞Ｙ　？？

[keith_291 10]

看我們老師說　因為三角形是頓角三角形（A^2+B^2>C^2) 所以高一定在右邊

故只有一解

請問如果是真的的話

那

要怎麼解釋　Ｘ＞Ｙ　？？

第一

鈍角三角形應該是A^2+B^2<C^2才是

第二

"所以高一定在右邊"

這句請詳加說明右邊是指?

一開始題目沒限定是鈍角(就算是也沒說是哪一角)

假設題目無誤 即無限定三角形種類

我們用代數解出了2解

其中一解為鈍角(PH=6那組)

但另一解為銳角(PH=12根號2那組)

(可用數學軟題如GSP或手工計算用三角函數即可得其為銳角)

我猜你們老師可能也沒考慮到這情形...

且2組解皆可無矛盾的存在!

[龍a翼 10]

感謝你~

我拿我畫的GSP圖給他看

他終於認了

不過我在畫的時候

發生了兩個問題

<1>有辦法直接設定線段長度嗎？

　　因為我畫的時候　都用拉的　常常只有拉到　相近的數

<2>有辦法把顯示的％變小嗎？

　　因為我在畫到３３公分的時候　就必須把解析度調到最高才能一次看見

[keith_291 10]

似乎是不行直接指定長度繪圖

GSP主要是看各線段和角的相對關係(有無相交, 動點軌跡 , 角度比值)

對測量精確的各種值並不是它的強項

我通常都畫出相對關係就好 不用太在意長度

比如此題我就使底邊(長24那條)被分成1:3

然後頂角交分點的線段長同那1:3的線段中較長那段

改變頂角交分點的線段和底邊所夾角度

"可"找到使頂角交分點的線段=1:3的那線段中較短那段

則鈍角的那解成立(PH=PA情形可存在)

再過頂角做平行線

在平行線上"可"找到一點使BH=PA <==重要! 因為這樣兩解討論的三角形面積才是一樣的

銳角那解成立

以上的"可"大致是把點動一下測量值會由小持續變大或由大持續變小

那中間必經過相等的情形(比如一開始角度過小時BH<PA 後來隨角度增大BH增大 但PA不變 當BH可增大到超過PA時 我們可推斷中間應該有一點是剛好等於的 也就是等於是可存在的)