【數學】為什麼1+1=2

抓檔小天使

由 抓檔小天使,
在 數學版

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抓檔小天使

抓檔小天使 10

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我去知識+找過了...

可是沒有

不過，我有問到了(問我爸爸的)

為什麼1 + 1 = 2呢?

爸爸：其實，0~10是定義數字，古人再發明數字的時候

沒有東西的時候，古人稱為0；有兩個東西的時候，古人稱為2

所以，1+1=2其實是名詞的問題(就好像你也可以把兩個東西定義為3)。

差不多就是這樣了

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Smile=*-

Smile=*- 10

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其實這問題不白吃，

老實說我有時候也會想為什麼１＋１＝２

那又為什麼２＋１＝３

其實啊這題目看似簡單卻有很深的奧義，

只不過當我們學習東西的時候就被灌輸１＋１就等於２或２＋１就＝3的思念，

很少人靜下來想為什麼１＋１＝２

自然的這個問題就會沉下去，

我佩服你想的出來啊０．０，

本還以為誰會想為什麼１＋１＝２除了我之外應該沒有人０．０撲～

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抓檔小天使

抓檔小天使 10

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其實這問題不白吃，

老實說我有時候也會想為什麼１＋１＝２

那又為什麼２＋１＝３

其實啊這題目看似簡單卻有很深的奧義，

只不過當我們學習東西的時候就被灌輸１＋１就等於２或２＋１就＝２的思念，

很少人靜下來想為什麼１＋１＝２

自然的這個問題就會沉下去，

我佩服你想的出來啊０．０，

本還以為誰會想為什麼１＋１＝２除了我之外應該沒有人０．０撲～

大大，打錯了喔

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抓檔小天使

抓檔小天使 10

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  • 作者
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這東西有一本書那麼厚的証明(除非數學老師虎爛我)

不過我自己在證的時候.不管怎樣都是會讓1+1=2變成前提而不是結果囧...

後來我去找了

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306040800875

這邊有.不過專有名詞一堆.慎入

我去看了一下，好誇張喔= =

真是有夠複雜= =

所以，我的結論就是：凡事都可以問"為什麼" !!! (好白痴的結論= = )

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愛國者

愛國者 10

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不要小看這個題目喔

這可是有數學家 整整推了100頁才推出來

我看樓上有人貼了一個邏輯的證明法

我在網路上也找到一個證法(應該蠻好懂的)

有點像歸謬證法

設1+1<2

因為1為整數 所以1+1必為整數(整數加整數必為整數)

且1+1必大於1(若1+1<=1 則用等量公理 1<=0 當然不合)

但因為1和2之間不存在任何整數 所以1+1<2 矛盾

設1+1>2

因為1,2皆是整數 所以2-1必為整數(整數減整數必為整數)

且2>1 推得2-1>0

又1+1>2 推得2-1<1

但因為0和1之間不存在任何整數 所以1+1>2矛盾

從上兩證明可推得 1+1=2

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I V Yˇ君

I V Yˇ君 10

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不要小看這個題目喔

這可是有數學家 整整推了100頁才推出來

我看樓上有人貼了一個邏輯的證明法

我在網路上也找到一個證法(應該蠻好懂的)

有點像歸謬證法

設1+1<2

因為1為整數 所以1+1必為整數(整數加整數必為整數)

且1+1必大於1(若1+1<=1 則用等量公理 1<=0 當然不合)

但因為1和2之間不存在任何整數 所以1+1<2 矛盾

設1+1>2

因為1,2皆是整數 所以2-1必為整數(整數減整數必為整數)

且2>1 推得2-1>0

又1+1>2 推得2-1<1

但因為0和1之間不存在任何整數 所以1+1>2矛盾

從上兩證明可推得 1+1=2

噢...這個容易多了!!!

到看那個知識+大學的那個 我頭都昏了 = =

不過種方法就淺顯易懂啦 ^^

我們老師也常用這種方法證明其他東西

:D

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chpohoa1

chpohoa1 10

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不要小看這個題目喔

這可是有數學家 整整推了100頁才推出來

我看樓上有人貼了一個邏輯的證明法

我在網路上也找到一個證法(應該蠻好懂的)

有點像歸謬證法

設1+1<2

因為1為整數 所以1+1必為整數(整數加整數必為整數)

且1+1必大於1(若1+1<=1 則用等量公理 1<=0 當然不合)

但因為1和2之間不存在任何整數 所以1+1<2 矛盾

設1+1>2

因為1,2皆是整數 所以2-1必為整數(整數減整數必為整數)

且2>1 推得2-1>0

又1+1>2 推得2-1<1

但因為0和1之間不存在任何整數 所以1+1>2矛盾

從上兩證明可推得 1+1=2

上面的證明法其實有一個錯的地方，就是整數的概念是建立於1+1=2之後的

也就是說我們先確定1+1=2才得到正整數+正整數=正整數才得到整數+整數=整數

所以用整數+整數=整數 相當於先承認1+1=2 所以當然可以推出1+1=2 只是用了一些好像很

正確的推理過程.. 很多證明常常倒果為因

事實上，證明1+1=2是一群沒事幹的數學家提出來的= =那時候由於物理界量子力學跟相對

論的問世，導致很多理論的基礎都被認為應該重新檢視，所以在數學界也就有人提出萬一其

實1+1≠2，那麼數學的所有成就都是一場錯誤。也因此就有一群邏輯學家投入此工作中。

基本上要證明1+1=2是非常困難的，但這要先提到一個前提，意即所謂的公理系統

，所謂公理一開始定義為不證自明的事理，後來定義則改成一個理論系統的假設前提，

像相異2點必共線，或等量加法公理之類，這可以當作是我們對數學的基始定義，而公理的

存在也是為了避免陷入無窮無盡的證明之中。那麼1+1=2該不該算公理，那時候也沒人能回

答，但後來那群邏輯學家藉由更基礎的系統定義(此系統的性質無須再證，否則沒完沒了)，

並藉由非常複雜但完備嚴謹的過程證明了1+1=2，而證明過程就是那300多頁的理論。所以

用前述的31法來證明，我們得說他不夠嚴謹與完備。事實上，證明1+1=2這件事充其量不

過是想證明我們能夠解決這件事，附帶意義確也讓現代數學在基礎上不至崩潰，且具有更好

的完備性。只是個人認為這是很無聊的事，因為那是我們最基礎的定義，就像為何我們要叫

水為水一樣。

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愛國者

愛國者 10

發表於
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上面的證明法其實有一個錯的地方，就是整數的概念是建立於1+1=2之後的

也就是說我們先確定1+1=2才得到正整數+正整數=正整數才得到整數+整數=整數

所以用整數+整數=整數 相當於先承認1+1=2 所以當然可以推出1+1=2 只是用了一些好像很

正確的推理過程.. 很多證明常常倒果為因

事實上，證明1+1=2是一群沒事幹的數學家提出來的= =那時候由於物理界量子力學跟相對

論的問世，導致很多理論的基礎都被認為應該重新檢視，所以在數學界也就有人提出萬一其

實1+1≠2，那麼數學的所有成就都是一場錯誤。也因此就有一群邏輯學家投入此工作中。

基本上要證明1+1=2是非常困難的，但這要先提到一個前提，意即所謂的公理系統

，所謂公理一開始定義為不證自明的事理，後來定義則改成一個理論系統的假設前提，

像相異2點必共線，或等量加法公理之類，這可以當作是我們對數學的基始定義，而公理的

存在也是為了避免陷入無窮無盡的證明之中。那麼1+1=2該不該算公理，那時候也沒人能回

答，但後來那群邏輯學家藉由更基礎的系統定義(此系統的性質無須再證，否則沒完沒了)，

並藉由非常複雜但完備嚴謹的過程證明了1+1=2，而證明過程就是那300多頁的理論。所以

用前述的31法來證明，我們得說他不夠嚴謹與完備。事實上，證明1+1=2這件事充其量不

過是想證明我們能夠解決這件事，附帶意義確也讓現代數學在基礎上不至崩潰，且具有更好

的完備性。只是個人認為這是很無聊的事，因為那是我們最基礎的定義，就像為何我們要叫

水為水一樣。

恩............ 或許你講的比較合理

確實是先有1+1=2 才推出整數+整數=整數

雖然1+1=2 是最基本的定義 但也不是沒辦法證明

可以用其他一樣是最基本的定義證明(就像數學家推了300多頁的)

哈哈 如果真的要學最正統的證明 還是把那300頁記熟吧

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清風明月

清風明月 10

發表於
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我要講的幾乎都被清大那位同學講完了XDD

補充一下　是三一律不是三一論

基本上牽扯到"律"這種東西都不算是嚴謹的定理

但是使用上非常直觀　也就是說"證明三一律"這種東西可能還沒出來

可是我們已經用三一律去證明不少東西了

之所以要證明1+1=2還要花很多紙張

我覺得倒果為因的證明根本就不需要學　沒有什麼價值

當然記起來騙騙不懂的人也是不錯　但千萬不要說出去被專業的笑....|||

像我高中老師曾經用尤拉公式e^iy=cosy+isiny　去證明隸美弗定理

但重點在這條尤拉公式是可以被證明的　而證明過程中就是用到隸美弗

他在高二某次小考還特別說要考這個證明算在幾何成績上

結果現在想想他用尤拉公式證明隸美弗定理的方法　還是覺得很好笑

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九天驚虹

九天驚虹 10

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我要講的幾乎都被清大那位同學講完了XDD

補充一下　是三一律不是三一論

基本上牽扯到"律"這種東西都不算是嚴謹的定理

但是使用上非常直觀　也就是說"證明三一律"這種東西可能還沒出來

可是我們已經用三一律去證明不少東西了

之所以要證明1+1=2還要花很多紙張

我覺得倒果為因的證明根本就不需要學　沒有什麼價值

當然記起來騙騙不懂的人也是不錯　但千萬不要說出去被專業的笑....|||

像我高中老師曾經用尤拉公式e^iy=cosy+isiny　去證明隸美弗定理

但重點在這條尤拉公式是可以被證明的　而證明過程中就是用到隸美弗

他在高二某次小考還特別說要考這個證明算在幾何成績上

結果現在想想他用尤拉公式證明隸美弗定理的方法　還是覺得很好笑

尤拉公式不一定要用隸美弗定理證明

不過我喜歡用尤拉公式來證明隸美弗定理或三角函數的和角公式:p

像我家教的時候 就會想介紹 尤拉公式

不過我覺得對一般的高中生來說 提到這個太離譜了 所以也只是想想而已

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chpohoa1

chpohoa1 10

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尤拉公式不一定要用隸美弗定理證明

不過我喜歡用尤拉公式來證明隸美弗定理或三角函數的和角公式:p

像我家教的時候 就會想介紹 尤拉公式

不過我覺得對一般的高中生來說 提到這個太離譜了 所以也只是想想而已

尤拉公式的推導有2種，

第一種是尤拉自己用e的定義推出的，有用到隸美弗定理(九章出版的

神奇的複數有附過程)

第2種是基於複變函數論推出的，複變函數論也有用到隸美弗定理

所以尤拉公式是由隸美弗定理造就出來的。

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九天驚虹

九天驚虹 10

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尤拉公式的推導有2種，

第一種是尤拉自己用e的定義推出的，有用到隸美弗定理(九章出版的

神奇的複數有附過程)

第2種是基於複變函數論推出的，複變函數論也有用到隸美弗定理

所以尤拉公式是由隸美弗定理造就出來的。

嚴格的證明我不清楚

但我所知道的

(1)在費曼的物理學講義裡 有個章節會介紹虛指數(便於以後應用在振動..等物理現象上)

裡面的內容倒是不錯看 不過似乎沒證明(我忘記了)

(2) 對於尤拉公式

如何證明?

利用 泰勒展開式 就能說明了

我不是走純數學的人 但根據我的印象

用無窮級數展開似乎不是嚴謹的證明

不過對於像我這樣偏物理的人 凡事都盡量希望能理解

所以像尤拉公式也不會希望只能死背

對於由泰勒展開證明(也許措詞換成說明會更好)尤拉公式 已經相當足夠了

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chpohoa1

chpohoa1 10

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嚴格的證明我不清楚

但我所知道的

(1)在費曼的物理學講義裡 有個章節會介紹虛指數(便於以後應用在振動..等物理現象上)

裡面的內容倒是不錯看 不過似乎沒證明(我忘記了)

(2) 對於尤拉公式

如何證明?

利用 泰勒展開式 就能說明了

我不是走純數學的人 但根據我的印象

用無窮級數展開似乎不是嚴謹的證明

不過對於像我這樣偏物理的人 凡事都盡量希望能理解

所以像尤拉公式也不會希望只能死背

對於由泰勒展開證明(也許措詞換成說明會更好)尤拉公式 已經相當足夠了

首先先跟九天大大說聲抱歉，我把隸美弗定理記成[Z(θ)]^n=Z(nθ),|Z|=1

隸美弗定理是由上面那個方法得出的，e^iθ的表達式也是

所以由e^iθ可以得出隸美弗定理，但是感覺好像繞了一個大圈子

還有e^x泰勒展開原本是定義在實數領域，至於複數領域的e^x則要等到複變函數論出來後

e^ix的泰勒展開才有意義，偏偏複變函數論中也用到上述的方法

所以很多你看起來理所當然的事，都有更深一層的意義的

再來，做數學跟做物理的態度本來就不同，數學是人為的定義，當然要力求嚴謹，物理是對現實世界的觀測，觀測必有誤差，當然也就不可能達到精確嚴謹。高等物理會到大量微積分，而數學上的嚴謹可以保證當你把物理問題轉化成數學模型得出來的解答就是那幾個，不會再有其他答案，至於物理我想他不只是觀念，也包含數值和複雜的分析，只是用觀念有助於減少繁雜的分析與計算，但是終究不可能只用理解就解決一個問題，我們只能用觀念和想法去簡化問題，最終還是會用到數學這個工具的。

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