能量變化


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功能定理(w=動能變化)有沒有什麼使用限制?傾倒會適用嗎?

2.如果把一物體等速抬高,這樣能量不是沒有變化?可是重力位能卻增加了?

同學你的問題非常好!

一、功能定理(w=動能變化)有沒有什麼使用限制?傾倒會適用嗎?

針對單質點系統,我們可透過 Vfx^2 = Vix^2 +2ax∆x 推導合外力做功即動能變化。然而,並不是所有物體都可等效為單質點系統。你提到的傾倒物體就不能等效為單質點系統,畢竟質點怎會倒呢?那對於這種多質點系統該怎麼辦呢?

(a)將每個物體受到的合外力做功加總起來,使得合外力做功仍為動能變化。

假設有N個質點:

Wnet,1 = W內力,1 + W外力,1 = ∆Ek,1

Wnet,2 = W內力,2 + W外力,2 = ∆Ek,2

Wnet,3 = W內力,3 + W外力,3 = ∆Ek,3

.....

.....

Wnet,N = W內力,N + W外力,N = ∆Ek,N

所以,Wnet,1 + Wnet,2 + ... + Wnet,N = W外力,1 + W外力,2 + ... = W合外力 = ∆Ek,1 + ∆Ek,2 + ... + ∆Ek,N

(1對2作的功即為內力作功,所有內力做功都因牛頓第三定律而消掉—能量守恆。例如W1,2 + W2,1 = 0。也就是說,1傳給2的能量必與2傳給1的能量差負號。)

不過此時的動能並非質心動能,而是總動能。在傾倒的例子裡,此動能為 ∑(1/2 mv^2) = 1/2 ∑m(r⍵)^2 = 1/2 (∑mr^2) * ⍵^2 = 1/2 * I * ⍵^2,I 為 轉動慣量,可參考轉動慣量列表中的「細棒,長L,質量m」。

註:功的定義為力量對作用點位移的內積,因此物體傾倒時所受的靜摩擦力與正向力並不做功。

(b)將物體受的力對「質心位移」作內積,將「力量對質心位移的內積」定為假功(pseudo-work),此時的合外力所作的假功即為質心動能變化(而非總動能變化),可參考我網誌裡的〈力學能守恆定律可由牛頓定律推得嗎?〉以及〈重力對懸垂於桌邊之繩作的功〉。

註:功的定義為力量對質心位移的內積,因此物體傾倒時所受的靜摩擦力與正向力會做功

二、如果把一物體等速抬高,這樣能量不是沒有變化?可是重力位能卻增加了?

能量與系統的關係,就好比「感覺」與「人」的關係;沒有人,感覺就無意義,沒有指明系統,能量就無意義。針對物體的系統,你畫出它的力圖就可得知物體必須同時受「手」向上的靜摩擦力與「重力場」向下的重力,因此,手對物體作正功,同時重力場又對物體作負功(或者,物體對重力場作正功)。由於你說物體系統作等速運動,所以物體系統的能量守恆—流進的能量必等於流出的能量。因此,物體的動能守恆,但重力場的能量逐漸增加。

註:所有課本與參考書都寫「物體與地球」的能量為重力位能,但我認為重力位能並不在這之中,而在重力場內(仔細想想能量的位置就可概略明白我的意思)。也就是說,「物體系統」只有「熱能與動能」,而重力位能則位於「重力場系統」中。詳細想法請參閱〈重力場的意義〉。

下兩圖是「於空中落下的物體以及周圍重力場的能量變化示意圖」:

field-energy-1.png

(圖一:最初物體的動能並不多,位於空間中之重力場的重力位能挺多的)

field-energy-2.png

(圖二:重力場的能量—重力位能—傳遞至物體中,亦即重力場對物體作正功,使得物體能量—動能—增加,重力位能因而減少)

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