高中數學排列組合著色問題

[天羽凜 10]

數學老師都說著色要由接觸面大至接觸面小，

且對角接觸面積一樣多的又要分同色及異色分開討論，

我想請問為什麼要這樣算呢?原因為何?

[darker 10]

接觸面積由大到小：你如果先把接觸最多區塊的部分先定下來，其他區塊的顏色選擇就會變少，計算會變得相對單純，大大降低錯誤率。

同色異色：最經典的例子就是田字型，假如有五種顏色，依照普通的方法從左上開始填，會變成5×4×3×2=120種，但實際上，右下和左上沒有直接接觸，因此可以填同一種顏色，所以要分成同色或異色，5（左上）×1（右下）×4（右上）×4（左下）+5（左上）×4（右下）×3（右上）×3（左下）=260種，足足多了140種。

因為是用手機所以只能先用文字敘述，若是有不懂的地方請盡量提出來。

[天羽凜 10]

謝謝妳的回答。我想請問的是，為何會想到對角要分同色異色，

我想知道從何而來這樣的想法，猶如解題最重要的是看到題目後

知道該怎麼想才能解題，而非因為老師說要分同色異色

就背下來。能否解釋一下該想法的邏輯呢?

[darker 10]

這個想法的來源就是“事實”，其實也沒什麼邏輯……這個可能要去問老師0.0

[數學教練 10]

為何會想到對角要分同色異色，

我想知道從何而來這樣的想法，

4種顏色, 相鄰異色, 顏色可重複

田字型, 四區塊, 分別為 A(左上) B(左下) C (右下) D(右上)

A D

B C

[想法1]:

Step 1: 先填A, 有4種 顏色可選

Step 2: 再填B, 有3種 (和 A不同色)

Step 3: 再填C, 有3種 (和 B不同色)

Step 4: 後填D, 有2種 (和 A, C 都不同)

所以, 4X3X3X2 = 72

以上的答案是錯的. = ="

你可以找出, 那個地方錯了 ?

如果想不出來, 試著畫樹狀圖.

對角要分同色異色, 是由經驗累積而來.

只不過, 老師和參考書, 直接把結論告訴你.

此內容已被編輯, June 1, 2015 ,由 數學教練
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[數學教練 10]

為何會想到對角要分同色異色，

我想知道從何而來這樣的想法

A D

B C

[想法2]:

Step 1: 先填A, 有4種 顏色可選

Step 2: 再填B, 有3種 (和 A不同色)

Step 3: 再填D, 有3種 (和 A不同色)

Step 4: 後填C, 有2種 (和 B, D 都不同)

所以, 4X3X3X2 = 72

以上的答案, 還是錯的. T_T

那裡錯了 ?

如果想不出來, 試著畫樹狀圖.

[★羽翼 14]

如果對角線同色，則同時接觸到這兩塊的區塊會比對角線異色的情況多一種顏色可以選